Номер 732, страница 236 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

732. 1) $5^{2x} - 5^x - 600 = 0;$

2) $9^x - 3^x - 6 = 0;$

3) $3^x + 9^{x-1} - 810 = 0;$

4) $4^x + 2^{x+1} - 80 = 0.$

Дано показательное уравнение $5^{2x} - 5^x - 600 = 0$.
Данное уравнение можно свести к квадратному, используя замену переменной. Заметим, что $5^{2x}$ можно представить как $(5^x)^2$.
Введем новую переменную: пусть $t = 5^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.
После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения: $t^2 - t - 600 = 0$.
Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 1 + 2400 = 2401$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{2401} = 49$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 49}{2} = \frac{50}{2} = 25$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 49}{2} = \frac{-48}{2} = -24$.
Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $t > 0$.
$t_1 = 25$ удовлетворяет условию ($25 > 0$).
$t_2 = -24$ не удовлетворяет условию ($-24 < 0$), поэтому этот корень является посторонним.
Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = 25$:
$5^x = 25$.
Представим число 25 в виде степени с основанием 5: $25 = 5^2$.
$5^x = 5^2$.
Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

Дано показательное уравнение $9^x - 3^x - 6 = 0$.
Преобразуем уравнение, приведя степени к одному основанию. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$. Условие для новой переменной: $t > 0$.
Уравнение примет вид: $t^2 - t - 6 = 0$.
Это квадратное уравнение можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
Также можно использовать формулу для корней квадратного уравнения:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$.
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2$.
Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.
$t_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 > 0$).
$t_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 0$), значит, это посторонний корень.
Вернемся к исходной переменной $x$ для $t_1 = 3$:
$3^x = 3$.
Поскольку $3 = 3^1$, получаем:
$3^x = 3^1$.
Следовательно, $x = 1$.
Ответ: $x=1$.

Дано показательное уравнение $3^x + 9^{x-1} - 810 = 0$.
Приведем все степени к одному основанию 3. Используем свойства степеней:
$9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2} = 3^{2x} \cdot 3^{-2} = \frac{(3^x)^2}{9}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$3^x + \frac{(3^x)^2}{9} - 810 = 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
Уравнение примет вид: $t + \frac{t^2}{9} - 810 = 0$.
Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
$9t + t^2 - 7290 = 0$.
Запишем в стандартном виде: $t^2 + 9t - 7290 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7290) = 81 + 29160 = 29241$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{29241} = 171$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-9 + 171}{2} = \frac{162}{2} = 81$.
$t_2 = \frac{-9 - 171}{2} = \frac{-180}{2} = -90$.
Проверим корни по условию $t > 0$.
$t_1 = 81$ подходит ($81 > 0$).
$t_2 = -90$ не подходит ($-90 < 0$).
Выполним обратную замену для $t_1=81$:
$3^x = 81$.
Представим 81 как степень с основанием 3: $81 = 3^4$.
$3^x = 3^4$.
Отсюда $x = 4$.
Ответ: $x=4$.

Дано показательное уравнение $4^x + 2^{x+1} - 80 = 0$.
Преобразуем члены уравнения, чтобы привести их к одному основанию 2:
$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.
$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 80 = 0$.
Введем замену: пусть $t = 2^x$, с условием $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $t^2 + 2t - 80 = 0$.
Решим его. По теореме Виета: сумма корней равна $-2$, произведение равно $-80$. Это числа $8$ и $-10$.
$t_1 = 8$, $t_2 = -10$.
Проверим корни с учетом условия $t > 0$.
$t_1 = 8$ удовлетворяет условию ($8 > 0$).
$t_2 = -10$ не удовлетворяет условию ($-10 < 0$), является посторонним корнем.
Сделаем обратную замену для $t_1 = 8$:
$2^x = 8$.
Представим 8 как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.
$2^x = 2^3$.
Следовательно, $x = 3$.
Ответ: $x=3$.