Номер 725, страница 236 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

725. Найти все значения параметра a, при которых система

$$ \begin{cases} 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3a, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

имеет единственное решение.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3a, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

Заметим, что если пара $(x_0, y_0)$ является решением системы, то пара $(-x_0, y_0)$ также является решением. Это следует из того, что переменная $x$ входит в оба уравнения только в виде $|x|$ и $x^2$, а $|-x_0| = |x_0|$ и $(-x_0)^2 = x_0^2$.

Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы это решение было инвариантно относительно замены $x$ на $-x$. То есть, должно выполняться условие $(x_0, y_0) = (-x_0, y_0)$, что возможно только при $x_0 = -x_0$, а значит, $x_0 = 0$.

Таким образом, единственное решение (если оно существует) должно иметь вид $(0, y)$. Подставим $x=0$ во второе уравнение системы:

$0^2 + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = 1$ или $y = -1$.

Следовательно, кандидатами на единственное решение являются пары $(0, 1)$ и $(0, -1)$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: единственное решение — (0, 1)

Подставим $x=0$ и $y=1$ в первое уравнение системы, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$:

$3 \cdot 2^{|0|} + 5|0| + 4 = 3(1) + 5(0)^2 + 3a$

$3 \cdot 2^0 + 0 + 4 = 3 + 0 + 3a$

$3 \cdot 1 + 4 = 3 + 3a$

$7 = 3 + 3a$

$4 = 3a$

$a = \frac{4}{3}$

Теперь проверим, действительно ли при $a = 4/3$ система имеет единственное решение. Подставим это значение $a$ в исходную систему:

$$ \begin{cases} 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3 \cdot \frac{4}{3}, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

Упростим первое уравнение:

$3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 4$

$3y = 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| - 5x^2$

Мы знаем, что $(0, 1)$ является решением. Проверим, является ли решением $(0, -1)$:

При $x=0, y=-1$: $3(-1) = 3 \cdot 2^0 + 5 \cdot 0 - 5 \cdot 0^2 \Rightarrow -3 = 3$, что неверно. Значит, $(0, -1)$ не является решением.

Теперь нужно проверить, есть ли решения при $x \neq 0$. Из второго уравнения $x^2+y^2=1$ следует, что $|x| \le 1$ и $y = \pm\sqrt{1-x^2}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| - 5x^2$. Поскольку функция четная, достаточно рассмотреть $x \in (0, 1]$. Для таких $x$ имеем $f(x) = 3 \cdot 2^x + 5x - 5x^2$.

Исследуем функцию $f(x)$ на отрезке $[0, 1]$. $f(0) = 3 \cdot 2^0 = 3$. $f(1) = 3 \cdot 2^1 + 5 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 6$.

Найдем производную: $f'(x) = 3 \cdot 2^x \ln 2 + 5 - 10x$. $f'(0) = 3\ln 2 + 5 > 0$. $f'(1) = 6\ln 2 - 5 \approx 6 \cdot 0.693 - 5 = 4.158 - 5 < 0$. Так как производная непрерывна и меняет знак на интервале $(0, 1)$, там находится точка максимума. Минимальное значение функции $f(x)$ на отрезке $[0, 1]$ достигается на одном из концов отрезка. $\min(f(0), f(1)) = \min(3, 6) = 3$.

Таким образом, для всех $x \in [-1, 1]$ выполняется $f(x) \ge 3$. Тогда из уравнения $3y = f(x)$ следует, что $y = f(x)/3 \ge 1$.

С другой стороны, из второго уравнения $x^2+y^2=1$ следует, что $y \le 1$.

Система неравенств $y \ge 1$ и $y \le 1$ имеет единственное решение $y=1$. Это возможно только при $f(x)/3 = 1$, то есть $f(x)=3$. Как мы выяснили, это достигается только при $x=0$.

Следовательно, при $a=4/3$ система имеет единственное решение $(0, 1)$.

Случай 2: единственное решение — (0, -1)

Подставим $x=0$ и $y=-1$ в первое уравнение системы:

$3 \cdot 2^{|0|} + 5|0| + 4 = 3(-1) + 5(0)^2 + 3a$

$7 = -3 + 3a$

$10 = 3a$

$a = \frac{10}{3}$

Проверим, является ли решение единственным при $a = 10/3$. Система принимает вид:

$3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 10$

$3y = 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| - 5x^2 - 6$

Мы знаем, что $(0, -1)$ является решением. Проверим наличие других решений. Например, рассмотрим точку $(1, 0)$, которая удовлетворяет второму уравнению $x^2+y^2=1$.

Подставим $x=1$ и $y=0$ в преобразованное первое уравнение:

$3(0) = 3 \cdot 2^{|1|} + 5|1| - 5(1)^2 - 6$

$0 = 3 \cdot 2 + 5 - 5 - 6$

$0 = 6 - 6 = 0$, что является верным равенством.

Так как $(1, 0)$ является решением, то в силу симметрии и $(-1, 0)$ также является решением. Таким образом, при $a = 10/3$ система имеет как минимум три решения: $(0, -1)$, $(1, 0)$ и $(-1, 0)$. Этот случай нам не подходит.

Единственное значение параметра, при котором система имеет единственное решение, это $a=4/3$.

Ответ: $a = \frac{4}{3}$.