Номер 722, страница 235 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему (722—724).

722.

1) $ \begin{cases} 5^{2x+1} > 625, \\ 11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 0,3^{10x^2-47x} = 0,3^{-10x-7}, \\ 3,7^{x^2} < 3,7^4. \end{cases} $

1)

Решим данную систему:

$ \begin{cases} 5^{2x+1} > 625, \\ 11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15} \end{cases} $

Сначала решим первое показательное неравенство. Представим число 625 в виде степени с основанием 5:

$625 = 5^4$.

Неравенство принимает вид:

$5^{2x+1} > 5^4$.

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x+1 > 4$

$2x > 3$

$x > \frac{3}{2}$

Теперь решим второе показательное уравнение:

$11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15}$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$6x^2-10x = 9x-15$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6x^2-10x-9x+15 = 0$

$6x^2-19x+15 = 0$.

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 361 - 360 = 1$.

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-(-19) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{19+1}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-(-19) - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{19-1}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Решением системы являются значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: являются корнями уравнения и удовлетворяют неравенству $x > \frac{3}{2}$.

Проверим корень $x_1 = \frac{5}{3}$. Сравним $\frac{5}{3}$ и $\frac{3}{2}$. Так как $\frac{5}{3} \approx 1,67$ и $\frac{3}{2} = 1,5$, то $\frac{5}{3} > \frac{3}{2}$. Этот корень является решением системы.

Проверим корень $x_2 = \frac{3}{2}$. Неравенство $x > \frac{3}{2}$ строгое, поэтому $x_2 = \frac{3}{2}$ не является его решением.

Таким образом, у системы есть только одно решение.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

2)

Решим данную систему:

$ \begin{cases} 0,3^{10x^2-47x} = 0,3^{-10x-7}, \\ 3,7^{x^2} < 3,7^4 \end{cases} $

Сначала решим первое показательное уравнение:

$0,3^{10x^2-47x} = 0,3^{-10x-7}$.

Так как основания степеней равны, приравняем показатели:

$10x^2-47x = -10x-7$.

Перенесем все члены в левую часть:

$10x^2-47x+10x+7 = 0$

$10x^2-37x+7 = 0$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$D = (-37)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 7 = 1369 - 280 = 1089$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-37) + 33}{2 \cdot 10} = \frac{37+33}{20} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2} = 3,5$

$x_2 = \frac{-(-37) - 33}{2 \cdot 10} = \frac{37-33}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2$

Теперь решим второе показательное неравенство:

$3,7^{x^2} < 3,7^4$.

Так как основание степени $3,7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 < 4$

$x^2 - 4 < 0$

$(x-2)(x+2) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $x \in (-2; 2)$.

Решением системы являются значения $x$, которые являются корнями уравнения и принадлежат интервалу $(-2; 2)$.

Проверим корень $x_1 = 3,5$. Это значение не принадлежит интервалу $(-2; 2)$, так как $3,5 > 2$.

Проверим корень $x_2 = 0,2$. Это значение принадлежит интервалу $(-2; 2)$, так как $-2 < 0,2 < 2$.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: $0,2$.