Номер 718, страница 235 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

718. 1) $ \begin{cases} 4^x \cdot 2^y = 32, \\ 3^{8x+1} = 3^{3y}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3^{3x-2y} = 81, \\ 3^{6x} \cdot 3^y = 27. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4^x \cdot 2^y = 32 \\ 3^{8x+1} = 3^{3y} \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, приведя все его части к основанию 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $32 = 2^5$.

Подставим эти выражения в первое уравнение:

$(2^2)^x \cdot 2^y = 2^5$

$2^{2x} \cdot 2^y = 2^5$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{2x+y} = 2^5$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$2x + y = 5$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

$3^{8x+1} = 3^{3y}$

Здесь основания степеней уже равны, поэтому приравниваем показатели:

$8x + 1 = 3y$

В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 8x + 1 = 3y \end{cases} $$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 5 - 2x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$8x + 1 = 3(5 - 2x)$

$8x + 1 = 15 - 6x$

$8x + 6x = 15 - 1$

$14x = 14$

$x = 1$

Теперь найдем $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 5 - 2(1) = 5 - 2 = 3$

Решением системы является пара чисел $(1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3^{3x-2y} = 81 \\ 3^{6x} \cdot 3^y = 27 \end{cases} $$

Преобразуем оба уравнения, приведя все их части к основанию 3. Мы знаем, что $81 = 3^4$ и $27 = 3^3$.

Для первого уравнения получаем:

$3^{3x-2y} = 3^4$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$3x - 2y = 4$

Для второго уравнения, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$3^{6x+y} = 3^3$

Приравниваем показатели:

$6x + y = 3$

Мы получили систему двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 6x + y = 3 \end{cases} $$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 3 - 6x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x - 2(3 - 6x) = 4$

$3x - 6 + 12x = 4$

$15x = 10$

$x = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 3 - 6 \cdot (\frac{2}{3}) = 3 - \frac{12}{3} = 3 - 4 = -1$

Решением системы является пара чисел $(\frac{2}{3}; -1)$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; -1)$.