Номер 716, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

716. $(x^2 - x + 1)^{x^2 - \frac{5}{2}x + 1} < 1$

Для решения показательно-степенного неравенства $(x^2 - x + 1)^{x^2 - \frac{5}{2}x + 1} < 1$ необходимо рассмотреть два случая, которые зависят от значения основания степени.

Обозначим основание $f(x) = x^2 - x + 1$ и показатель степени $g(x) = x^2 - \frac{5}{2}x + 1$.

Прежде всего, проанализируем основание $f(x) = x^2 - x + 1$. Дискриминант этого квадратного трехчлена равен $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), то функция $f(x)$ принимает только положительные значения при любых действительных $x$. Таким образом, область определения неравенства — все действительные числа.

Неравенство вида $f(x)^{g(x)} < 1$ можно представить как $f(x)^{g(x)} < f(x)^0$. Дальнейшее решение зависит от того, больше или меньше единицы основание $f(x)$.

Случай 1: Основание больше 1, а показатель степени отрицателен.

Этот случай описывается системой неравенств:

$\begin{cases} f(x) > 1 \\ g(x) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - x + 1 > 1 \\ x^2 - \frac{5}{2}x + 1 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x^2 - x > 0$

$x(x - 1) > 0$

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Решим второе неравенство системы. Для удобства умножим его на 2:

$2x^2 - 5x + 2 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Так как ветви параболы $y=2x^2-5x+2$ направлены вверх, неравенство $2x^2 - 5x + 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (\frac{1}{2}, 2)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ и $(\frac{1}{2}, 2)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(1, 2)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1, а показатель степени положителен.

Этот случай описывается системой неравенств:

$\begin{cases} 0 < f(x) < 1 \\ g(x) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 < x^2 - x + 1 < 1 \\ x^2 - \frac{5}{2}x + 1 > 0 \end{cases}$

Решим первое двойное неравенство $0 < x^2 - x + 1 < 1$.

Как мы уже установили, $x^2 - x + 1 > 0$ для всех $x$. Поэтому достаточно решить неравенство:

$x^2 - x + 1 < 1$

$x^2 - x < 0$

$x(x - 1) < 0$

Решением этого неравенства является интервал $x \in (0, 1)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 > 0 \implies 2x^2 - 5x + 2 > 0$

Корни соответствующего уравнения $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $(0, 1)$ и $(-\infty, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(0, \frac{1}{2})$.

Итог.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях.

Объединяем полученные интервалы: $(1, 2) \cup (0, \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{2}) \cup (1, 2)$