Номер 712, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

712. Решить графически уравнение:

1) $2^x = 3 - 2x - x^2$;

2) $3^{-x} = \sqrt{x}$;

3) $(\frac{1}{3})^x = -\frac{3}{x}$;

4) $(\frac{1}{2})^x = x^3 - 1.$

1) $2^x = 3 - 2x - x^2$

Для решения данного уравнения графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 3 - 2x - x^2$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

Первая функция $y_1 = 2^x$ — это показательная функция (экспонента). Её график проходит через точку $(0, 1)$ и возрастает на всей области определения. Для построения можно использовать точки: $(-2, 0.25)$, $(-1, 0.5)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$.

Вторая функция $y_2 = 3 - 2x - x^2$ (или $y_2 = -x^2 - 2x + 3$) — это квадратичная функция, её график — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика найдем вершину параболы: абсцисса вершины $x_0 = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot -1) = -1$, ордината $y_0 = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$. Вершина находится в точке $(-1, 4)$. Найдем точки пересечения с осями координат. С осью OY ($x=0$): $y=3$, точка $(0, 3)$. С осью OX ($y=0$): $-x^2 - 2x + 3 = 0$, корни $x_1=1$ и $x_2=-3$. Точки пересечения $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. Так как точные значения не являются целыми числами, графический метод дает приблизительные решения. Одна точка пересечения имеет абсциссу в интервале $(-3, -2)$, а другая — в интервале $(0, 1)$.

Ответ: $x_1 \approx -2.9, x_2 \approx 0.6$.

2) $3^{-x} = \sqrt{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = 3^{-x}$ и $y_2 = \sqrt{x}$. Абсцисса точки их пересечения будет решением уравнения.

Функция $y_1 = 3^{-x}$, что то же самое, что $y_1 = (\frac{1}{3})^x$, является показательной функцией, убывающей на всей области определения. Её график проходит через точку $(0, 1)$. Ключевые точки для построения: $(-1, 3)$, $(0, 1)$, $(1, 1/3)$.

Функция $y_2 = \sqrt{x}$ определена для $x \ge 0$. Её график — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно прямой $y=x$ графику $y=x^2$. График начинается в точке $(0, 0)$ и монотонно возрастает. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.

При построении графиков видно, что они пересекаются только в одной точке. Это связано с тем, что для $x > 0$ функция $y_1=3^{-x}$ убывает, а $y_2=\sqrt{x}$ возрастает. Абсцисса точки пересечения находится в интервале $(0, 1)$.

Ответ: $x \approx 0.4$.

3) $(\frac{1}{3})^x = -\frac{3}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2 = -\frac{3}{x}$.

График функции $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ — это убывающая показательная функция. Важным свойством является то, что она всегда положительна ($y_1>0$) для любого $x$.

График функции $y_2 = -\frac{3}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

Поскольку $y_1 > 0$, пересечение графиков возможно только там, где $y_2 > 0$. Это происходит, когда $x < 0$, то есть во второй четверти. Построим графики для $x<0$. Проверим значения функций в точке $x=-1$: для $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ получаем $y_1 = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$; для $y_2 = -\frac{3}{x}$ получаем $y_2 = -\frac{3}{-1} = 3$. Значения совпадают, значит, графики пересекаются в точке $(-1, 3)$.

На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ является возрастающей, а функция $y_2 = -\frac{3}{x}$ — убывающей, поэтому у них может быть не более одной точки пересечения. Следовательно, найденное решение является единственным.

Ответ: $x = -1$.

4) $(\frac{1}{2})^x = x^3 - 1$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2 = x^3 - 1$.

График функции $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ — это убывающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$. Некоторые точки: $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 0.5)$, $(2, 0.25)$.

График функции $y_2 = x^3 - 1$ — это кубическая парабола (график $y=x^3$), смещенная на 1 единицу вниз. Эта функция является возрастающей на всей области определения. Некоторые точки: $(-1, -2)$, $(0, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 7)$.

Построим оба графика. Убывающая функция $y_1$ и возрастающая функция $y_2$ могут пересечься только в одной точке. Чтобы найти примерный интервал, содержащий корень, сравним значения функций. При $x=1$ имеем $y_1=0.5$, а $y_2=0$. При $x=2$ имеем $y_1=0.25$, а $y_2=7$. Так как в точке $x=1$ разность $y_1 - y_2 > 0$, а в точке $x=2$ разность $y_1 - y_2 < 0$, корень находится в интервале $(1, 2)$. Из графика видно, что абсцисса точки пересечения немного больше 1.

Ответ: $x \approx 1.1$.