Номер 719, страница 235 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

719. 1) $\begin{cases} 2^x + 2^y = 6, \\ 2^x - 2^y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^x + 5^y = 8, \\ 3^x - 5^y = -2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^x + 2^y = 6 \\ 2^x - 2^y = 2 \end{cases} $

Для решения данной системы введем новые переменные. Пусть $a = 2^x$ и $b = 2^y$. Так как показательная функция ($y=c^t, c>0, c\neq1$) принимает только положительные значения, то $a > 0$ и $b > 0$.

После замены система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 6 \\ a - b = 2 \end{cases} $

Это простая система линейных уравнений. Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти $a$:

$(a + b) + (a - b) = 6 + 2$

$2a = 8$

$a = 4$

Подставим найденное значение $a=4$ в первое уравнение ($a+b=6$), чтобы найти $b$:

$4 + b = 6$

$b = 6 - 4$

$b = 2$

Теперь, когда мы нашли значения $a$ и $b$, выполним обратную замену для нахождения $x$ и $y$.

Из $a = 2^x$ и $a=4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Из $b = 2^y$ и $b=2$:

$2^y = 2$

$2^y = 2^1$

$y = 1$

Таким образом, решение системы — $(2; 1)$. Выполним проверку:

$ \begin{cases} 2^2 + 2^1 = 4 + 2 = 6 \\ 2^2 - 2^1 = 4 - 2 = 2 \end{cases} $

Оба равенства верны.

Ответ: $(2; 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^x + 5^y = 8 \\ 3^x - 5^y = -2 \end{cases} $

Решим систему методом введения новых переменных. Пусть $a = 3^x$ и $b = 5^y$. Так как $a$ и $b$ являются значениями показательных функций, они должны быть положительными: $a > 0$, $b > 0$.

Система в новых переменных:

$ \begin{cases} a + b = 8 \\ a - b = -2 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы для нахождения $a$:

$(a + b) + (a - b) = 8 + (-2)$

$2a = 6$

$a = 3$

Подставим $a=3$ в первое уравнение ($a+b=8$), чтобы найти $b$:

$3 + b = 8$

$b = 8 - 3$

$b = 5$

Теперь выполним обратную замену.

Из $a = 3^x$ и $a=3$:

$3^x = 3$

$3^x = 3^1$

$x = 1$

Из $b = 5^y$ и $b=5$:

$5^y = 5$

$5^y = 5^1$

$y = 1$

Решение системы — $(1; 1)$. Проверка:

$ \begin{cases} 3^1 + 5^1 = 3 + 5 = 8 \\ 3^1 - 5^1 = 3 - 5 = -2 \end{cases} $

Оба равенства верны.

Ответ: $(1; 1)$.