Номер 721, страница 235 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

721. 1) $\begin{cases} 5^{x+1} \cdot 3^y = 75, \\ 3^x \cdot 5^{y-1} = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 4, \\ 3^y \cdot 2^x = 9. \end{cases}$

1)

Дана система показательных уравнений:

$$ \begin{cases} 5^{x+1} \cdot 3^y = 75 \\ 3^x \cdot 5^{y-1} = 3 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

Преобразуем первое уравнение:

$5^{x+1} \cdot 3^y = 75$

$5^x \cdot 5^1 \cdot 3^y = 75$

$5 \cdot (5^x \cdot 3^y) = 75$

Разделим обе части на 5:

$5^x \cdot 3^y = 15$

Преобразуем второе уравнение:

$3^x \cdot 5^{y-1} = 3$

$3^x \cdot \frac{5^y}{5^1} = 3$

Умножим обе части на 5:

$3^x \cdot 5^y = 15$

В результате преобразований мы получили новую систему:

$$ \begin{cases} 5^x \cdot 3^y = 15 \\ 3^x \cdot 5^y = 15 \end{cases} $$

Поскольку правые части обоих уравнений равны 15, мы можем приравнять их левые части:

$5^x \cdot 3^y = 3^x \cdot 5^y$

Разделим обе части уравнения на $3^x \cdot 5^y$ (это возможно, так как $3^x > 0$ и $5^y > 0$ при любых действительных $x, y$):

$\frac{5^x}{3^x} = \frac{5^y}{3^y}$

$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^y$

Так как основания степеней равны и не равны 1, показатели степеней также должны быть равны:

$x = y$

Теперь подставим $y=x$ в любое из упрощенных уравнений, например, в $5^x \cdot 3^y = 15$:

$5^x \cdot 3^x = 15$

$(5 \cdot 3)^x = 15$

$15^x = 15^1$

Отсюда следует, что $x=1$.

Поскольку $x=y$, то и $y=1$.

Проверка: подставим $x=1$ и $y=1$ в исходную систему.

Первое уравнение: $5^{1+1} \cdot 3^1 = 5^2 \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 75$. Верно.

Второе уравнение: $3^1 \cdot 5^{1-1} = 3 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$. Верно.

Ответ: $x=1, y=1$.

2)

Дана система показательных уравнений:

$$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 4 \\ 3^y \cdot 2^x = 9 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод умножения и деления уравнений.

Сначала перемножим оба уравнения системы:

$(3^x \cdot 2^y) \cdot (3^y \cdot 2^x) = 4 \cdot 9$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(3^x \cdot 3^y) \cdot (2^x \cdot 2^y) = 36$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$3^{x+y} \cdot 2^{x+y} = 36$

Используя свойство $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$, получим:

$(3 \cdot 2)^{x+y} = 36$

$6^{x+y} = 6^2$

Отсюда получаем первое линейное уравнение относительно $x$ и $y$:

$x+y=2$

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$\frac{3^x \cdot 2^y}{3^y \cdot 2^x} = \frac{4}{9}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\frac{3^x}{3^y} \cdot \frac{2^y}{2^x} = \frac{4}{9}$

Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получим:

$3^{x-y} \cdot 2^{y-x} = \frac{4}{9}$

Так как $y-x = -(x-y)$, то $2^{y-x} = 2^{-(x-y)} = \frac{1}{2^{x-y}}$. Уравнение примет вид:

$\frac{3^{x-y}}{2^{x-y}} = \frac{4}{9}$

$(\frac{3}{2})^{x-y} = (\frac{2}{3})^2$

Чтобы основания степеней были одинаковыми, представим $(\frac{2}{3})^2$ как $(\frac{3}{2})^{-2}$:

$(\frac{3}{2})^{x-y} = (\frac{3}{2})^{-2}$

Отсюда получаем второе линейное уравнение:

$x-y = -2$

Теперь решим полученную систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 2 \\ x-y = -2 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 2 + (-2)$

$2x = 0$

$x = 0$

Подставим значение $x=0$ в первое уравнение $x+y=2$:

$0+y=2$

$y=2$

Проверка: подставим $x=0$ и $y=2$ в исходную систему.

Первое уравнение: $3^0 \cdot 2^2 = 1 \cdot 4 = 4$. Верно.

Второе уравнение: $3^2 \cdot 2^0 = 9 \cdot 1 = 9$. Верно.

Ответ: $x=0, y=2$.