Номер 724, страница 236 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

724. 1) $\begin{cases} (5^x)^y = 5^{21}, \\ 5^x \cdot 5^y = 5^{10}, \\ 3^x > 3^y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (0,2^y)^x = 0,008, \\ (0,4)^y = 0,4^{3,5-x}, \\ 2^x \cdot 0,5^y < 1. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений и неравенство:

$\begin{cases} (5^x)^y = 5^{21}, \\ 5^x \cdot 5^y = 5^{10}, \\ 3^x > 3^y; \end{cases}$

Упростим первые два уравнения, используя свойства степеней.

Первое уравнение: $(5^x)^y = 5^{21}$. По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $5^{xy} = 5^{21}$. Так как основания степеней равны, то равны и их показатели: $xy = 21$.

Второе уравнение: $5^x \cdot 5^y = 5^{10}$. По свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем $5^{x+y} = 5^{10}$. Отсюда следует, что $x+y = 10$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x+y = 10 \\ xy = 21 \end{cases}$

Эту систему можно решить по теореме Виета. Числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив наши значения, получим:

$t^2 - 10t + 21 = 0$

Находим корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$.

$t_1 = \frac{10 - \sqrt{16}}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3$

$t_2 = \frac{10 + \sqrt{16}}{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7$

Таким образом, возможны два варианта для пары $(x, y)$: $(3, 7)$ и $(7, 3)$.

Теперь используем третье условие системы: $3^x > 3^y$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $f(t)=3^t$ является возрастающей. Это означает, что неравенство $3^x > 3^y$ выполняется тогда и только тогда, когда $x > y$.

Проверим оба варианта:

1. Если $(x, y) = (3, 7)$, то неравенство $x > y$ принимает вид $3 > 7$, что является ложным.

2. Если $(x, y) = (7, 3)$, то неравенство $x > y$ принимает вид $7 > 3$, что является истинным.

Следовательно, единственным решением системы является пара $(7, 3)$.

Ответ: $(7; 3)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений и неравенство:

$\begin{cases} (0,2^y)^x = 0,008, \\ (0,4)^y = 0,4^{3,5-x}, \\ 2^x \cdot 0,5^y < 1. \end{cases}$

Преобразуем уравнения и неравенство, приводя их к более простому виду.

Первое уравнение: $(0,2^y)^x = 0,008$. Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $0,2^{xy} = 0,008$. Представим $0,008$ в виде степени с основанием $0,2$. $0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = (\frac{1}{5})^3 = 0,2^3$. Тогда уравнение примет вид $0,2^{xy} = 0,2^3$. Так как основания равны, то равны и показатели: $xy = 3$.

Второе уравнение: $(0,4)^y = 0,4^{3,5-x}$. Основания уже равны, поэтому приравниваем показатели: $y = 3,5 - x$, или $x+y = 3,5$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x+y = 3,5 \\ xy = 3 \end{cases}$

Снова воспользуемся теоремой Виета. Числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 3,5t + 3 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $2t^2 - 7t + 6 = 0$.

Находим корни. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

$t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

$t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Таким образом, возможные пары решений $(x, y)$: $(1,5; 2)$ и $(2; 1,5)$.

Рассмотрим третье условие системы: $2^x \cdot 0,5^y < 1$.

Представим $0,5$ как степень с основанием 2: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда $0,5^y = (2^{-1})^y = 2^{-y}$.

Неравенство принимает вид: $2^x \cdot 2^{-y} < 1$. По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем $2^{x-y} < 1$.

Так как $1 = 2^0$, неравенство можно записать как $2^{x-y} < 2^0$.

Основание степени $2 > 1$, поэтому показательная функция $f(t)=2^t$ является возрастающей. Значит, неравенство $2^{x-y} < 2^0$ равносильно неравенству $x-y < 0$, или $x < y$.

Проверим оба варианта:

1. Если $(x, y) = (1,5; 2)$, то неравенство $x < y$ принимает вид $1,5 < 2$, что является истинным.

2. Если $(x, y) = (2; 1,5)$, то неравенство $x < y$ принимает вид $2 < 1,5$, что является ложным.

Следовательно, решением системы является только пара $(1,5; 2)$.

Ответ: $(1,5; 2)$.