Номер 720, страница 235 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

720. 1) $\begin{cases} 5^x - 5^y = 100, \\ 5^{x-1} + 5^{y-1} = 30; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2^x - 9 \cdot 3^y = 7, \\ 2^x \cdot 3^y = \frac{8}{9}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 16^y - 16^x = 24, \\ 16^{x+y} = 256; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3^x + 2^{x+y+1} = 5, \\ 3^{x+1} - 2^{x+y} = 1. \end{cases}$

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5^x - 5^y = 100, \\ 5^{x-1} + 5^{y-1} = 30; \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $ \frac{5^x}{5} + \frac{5^y}{5} = 30 $. Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя: $ 5^x + 5^y = 150 $.

Теперь мы имеем новую, более простую систему: $ \begin{cases} 5^x - 5^y = 100, \\ 5^x + 5^y = 150; \end{cases} $

Введем новые переменные для упрощения. Пусть $a = 5^x$ и $b = 5^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $a > 0$ и $b > 0$. Система в новых переменных: $ \begin{cases} a - b = 100, \\ a + b = 150; \end{cases} $

Сложим два уравнения этой линейной системы: $ (a - b) + (a + b) = 100 + 150 $ $ 2a = 250 $ $ a = 125 $.

Подставим найденное значение $a$ во второе уравнение системы: $ 125 + b = 150 $ $ b = 150 - 125 $ $ b = 25 $.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$: $ a = 5^x \Rightarrow 125 = 5^x \Rightarrow 5^3 = 5^x \Rightarrow x = 3 $. $ b = 5^y \Rightarrow 25 = 5^y \Rightarrow 5^2 = 5^y \Rightarrow y = 2 $.

Ответ: $(3; 2)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2^x - 9 \cdot 3^y = 7, \\ 2^x \cdot 3^y = \frac{8}{9}; \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = 2^x$ и $b = 3^y$, где $a > 0$ и $b > 0$. Система примет вид: $ \begin{cases} a - 9b = 7, \\ a \cdot b = \frac{8}{9}; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$: $ a = 7 + 9b $. Подставим это выражение во второе уравнение: $ (7 + 9b) \cdot b = \frac{8}{9} $ $ 7b + 9b^2 = \frac{8}{9} $.

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дроби, и приведем к стандартному квадратному виду: $ 63b + 81b^2 = 8 $ $ 81b^2 + 63b - 8 = 0 $.

Решим полученное квадратное уравнение для $b$ с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$: $ D = 63^2 - 4 \cdot 81 \cdot (-8) = 3969 + 2592 = 6561 $. Корень из дискриминанта: $\sqrt{6561} = 81$.

Найдем корни уравнения: $ b_1 = \frac{-63 + 81}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9} $. $ b_2 = \frac{-63 - 81}{2 \cdot 81} = \frac{-144}{162} = -\frac{8}{9} $.

Так как $b = 3^y$, значение $b$ должно быть положительным. Следовательно, корень $b_2 = -8/9$ является посторонним. Используем $b = 1/9$.

Теперь найдем $a$: $ a = 7 + 9b = 7 + 9 \cdot \frac{1}{9} = 7 + 1 = 8 $.

Выполним обратную замену: $ a = 2^x \Rightarrow 8 = 2^x \Rightarrow 2^3 = 2^x \Rightarrow x = 3 $. $ b = 3^y \Rightarrow \frac{1}{9} = 3^y \Rightarrow 3^{-2} = 3^y \Rightarrow y = -2 $.

Ответ: $(3; -2)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 16^y - 16^x = 24, \\ 16^{x+y} = 256; \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение, используя свойства степеней и то, что $256 = 16^2$: $ 16^{x+y} = 16^2 $ $ x + y = 2 $. Также, по свойству степеней, $16^{x+y} = 16^x \cdot 16^y$. Таким образом, второе уравнение можно записать как $16^x \cdot 16^y = 256$.

Сделаем замену переменных. Пусть $a = 16^x$ и $b = 16^y$, где $a > 0$ и $b > 0$. Система примет вид: $ \begin{cases} b - a = 24, \\ a \cdot b = 256; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$: $ b = 24 + a $. Подставим это во второе уравнение: $ a \cdot (24 + a) = 256 $ $ 24a + a^2 = 256 $ $ a^2 + 24a - 256 = 0 $.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно -256, а сумма равна -24. Это числа 8 и -32. Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 8$ и $a_2 = -32$.

Так как $a = 16^x$, значение $a$ должно быть положительным. Значит, корень $a_2 = -32$ не подходит. Используем $a = 8$.

Теперь найдем $b$: $ b = 24 + a = 24 + 8 = 32 $.

Выполним обратную замену. Заметим, что $16 = 2^4$: $ a = 16^x \Rightarrow 8 = 16^x \Rightarrow 2^3 = (2^4)^x \Rightarrow 2^3 = 2^{4x} \Rightarrow 3 = 4x \Rightarrow x = \frac{3}{4} $. $ b = 16^y \Rightarrow 32 = 16^y \Rightarrow 2^5 = (2^4)^y \Rightarrow 2^5 = 2^{4y} \Rightarrow 5 = 4y \Rightarrow y = \frac{5}{4} $.

Проверим, удовлетворяет ли решение условию $x+y=2$: $\frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Верно.

Ответ: $(\frac{3}{4}; \frac{5}{4})$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3^x + 2^{x+y+1} = 5, \\ 3^{x+1} - 2^{x+y} = 1; \end{cases} $

Преобразуем уравнения, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $ 3^x + 2 \cdot 2^{x+y} = 5 $ $ 3 \cdot 3^x - 2^{x+y} = 1 $

Введем новые переменные. Пусть $a = 3^x$ и $b = 2^{x+y}$. Условия: $a > 0$, $b > 0$. Система в новых переменных: $ \begin{cases} a + 2b = 5, \\ 3a - b = 1; \end{cases} $

Решим эту линейную систему. Из второго уравнения выразим $b$: $ b = 3a - 1 $. Подставим это выражение в первое уравнение: $ a + 2(3a - 1) = 5 $ $ a + 6a - 2 = 5 $ $ 7a = 7 $ $ a = 1 $.

Теперь найдем $b$: $ b = 3a - 1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2 $.

Выполним обратную замену: $ a = 3^x \Rightarrow 1 = 3^x \Rightarrow 3^0 = 3^x \Rightarrow x = 0 $. $ b = 2^{x+y} \Rightarrow 2 = 2^{x+y} $. Подставим найденное значение $x=0$: $ 2 = 2^{0+y} \Rightarrow 2^1 = 2^y \Rightarrow y = 1 $.

Ответ: $(0; 1)$.