Номер 723, страница 235 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

723. 1) $\begin{cases} 2^{x+1} > 1, \\ 0,6^{x^2-2} = \left(1\frac{2}{3}\right)^x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 10^{5x} = 0,1^{2x^2-3}, \\ 3^{4x-1} \le 1. \end{cases}$

1) Решим данную систему, состоящую из показательного неравенства и показательного уравнения:

$ \begin{cases} 2^{x+1} > 1, \\ 0,6^{x^2-2} = \left(1\frac{2}{3}\right)^x \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство системы:

$2^{x+1} > 1$

Представим число 1 как степень с основанием 2: $1 = 2^0$.

$2^{x+1} > 2^0$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$x+1 > 0$

$x > -1$

Теперь решим второе уравнение системы:

$0,6^{x^2-2} = \left(1\frac{2}{3}\right)^x$

Чтобы решить это уравнение, приведем основания степеней к одному числу. Преобразуем десятичную и смешанную дроби в обыкновенные:

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Мы видим, что основания являются взаимно обратными числами: $\frac{5}{3} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1}$. Подставим полученные выражения в уравнение:

$\left(\frac{3}{5}\right)^{x^2-2} = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-1}\right)^x$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$\left(\frac{3}{5}\right)^{x^2-2} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-x}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2-2 = -x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2+x-2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются:

$x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Теперь нам нужно найти решения, которые удовлетворяют обоим условиям системы. Мы нашли, что корни уравнения это $x=1$ и $x=-2$, а решение неравенства - это $x > -1$.

Проверим каждый корень:

Для $x_1 = 1$: $1 > -1$. Это верное утверждение, значит $x=1$ является решением системы.

Для $x_2 = -2$: $-2 > -1$. Это неверное утверждение, значит $x=-2$ не является решением системы.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $1$.

2) Решим данную систему, состоящую из показательного уравнения и показательного неравенства:

$ \begin{cases} 10^{5x} = 0,1^{2x^2-3}, \\ 3^{4x-1} \le 1 \end{cases} $

Сначала решим первое уравнение системы:

$10^{5x} = 0,1^{2x^2-3}$

Приведем основания степеней к одному числу, в данном случае к 10. Заметим, что $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.

Подставим это в уравнение:

$10^{5x} = (10^{-1})^{2x^2-3}$

$10^{5x} = 10^{-1 \cdot (2x^2-3)}$

$10^{5x} = 10^{-2x^2+3}$

Поскольку основания степеней равны, приравняем их показатели:

$5x = -2x^2+3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2+5x-3=0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5+7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5-7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$

Итак, уравнение имеет два корня: $x=1/2$ и $x=-3$.

Теперь решим второе неравенство системы:

$3^{4x-1} \le 1$

Представим 1 как степень с основанием 3: $1 = 3^0$.

$3^{4x-1} \le 3^0$

Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$4x-1 \le 0$

$4x \le 1$

$x \le \frac{1}{4}$

Теперь найдем решения, которые удовлетворяют обоим условиям системы. Мы нашли, что корни уравнения это $x=1/2$ и $x=-3$, а решение неравенства - это $x \le 1/4$.

Проверим каждый корень:

Для $x_1 = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \le \frac{1}{4}$ (или $0,5 \le 0,25$). Это неверное утверждение.

Для $x_2 = -3$: $-3 \le \frac{1}{4}$. Это верное утверждение.

Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ: $-3$.