Номер 730, страница 236 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (730—732).

730.

1) $1,5^{5x-7} = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$;

2) $0,75^{2x-3} = \left(1\frac{1}{3}\right)^{5-x}$;

3) $5^{x^2-5x-6} = 1$;

4) $\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-2} = \frac{1}{7}$.

1) Исходное уравнение: $1.5^{5x-7} = (\frac{2}{3})^{x+1}$.
Чтобы решить показательное уравнение, приведем обе его части к одному основанию.
Представим десятичную дробь $1.5$ в виде обыкновенной: $1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Заметим, что основание в правой части является обратным к новому основанию в левой: $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$.
Подставим преобразованные значения в уравнение:
$(\frac{3}{2})^{5x-7} = ((\frac{3}{2})^{-1})^{x+1}$
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
$(\frac{3}{2})^{5x-7} = (\frac{3}{2})^{-(x+1)}$
$(\frac{3}{2})^{5x-7} = (\frac{3}{2})^{-x-1}$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$5x - 7 = -x - 1$
Теперь решим полученное линейное уравнение:
$5x + x = 7 - 1$
$6x = 6$
$x = 1$

Ответ: $1$.

2) Исходное уравнение: $0.75^{2x-3} = (1\frac{1}{3})^{5-x}$.
Приведем основания к одному виду. Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:
$0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
Основания $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$ являются взаимно обратными числами, т.е. $\frac{3}{4} = (\frac{4}{3})^{-1}$.
Подставим это в уравнение:
$((\frac{4}{3})^{-1})^{2x-3} = (\frac{4}{3})^{5-x}$
Упростим левую часть:
$(\frac{4}{3})^{-(2x-3)} = (\frac{4}{3})^{5-x}$
$(\frac{4}{3})^{-2x+3} = (\frac{4}{3})^{5-x}$
Приравниваем показатели степеней:
$-2x + 3 = 5 - x$
Решаем линейное уравнение:
$2x - x = 3 - 5$
$x = -2$

Ответ: $-2$.

3) Исходное уравнение: $5^{x^2-5x-6} = 1$.
Представим число $1$ в правой части как степень с основанием $5$. Так как любое ненулевое число в степени $0$ равно $1$, то $1 = 5^0$.
Уравнение принимает вид:
$5^{x^2-5x-6} = 5^0$
Так как основания равны, приравниваем показатели:
$x^2 - 5x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
$x_1 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1; 6$.

4) Исходное уравнение: $(\frac{1}{7})^{x^2-2x-2} = \frac{1}{7}$.
Основания в левой и правой частях уравнения уже равны. Представим правую часть в виде степени: $\frac{1}{7} = (\frac{1}{7})^1$.
Получаем уравнение:
$(\frac{1}{7})^{x^2-2x-2} = (\frac{1}{7})^1$
Приравниваем показатели степеней:
$x^2 - 2x - 2 = 1$
Переносим все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 2 - 1 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-1$.
Или через дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$
$x_1 = \frac{-(-2) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-2) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1; 3$.