Номер 733, страница 236 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

733. Решить неравенство:

1) $3^{x-2} > 9$;

2) $5^{2x} < \frac{1}{25}$;

3) $0.7^{x^2 + 2x} < 0.7^3$;

4) $(\frac{1}{3})^{x^2} > \frac{1}{81}$.

1) $3^{x-2} > 9$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3. Правая часть неравенства $9$ может быть представлена как $3^2$.

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:

$3^{x-2} > 3^2$

Так как основание степени $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что для показателей степени знак неравенства сохраняется. Переходим к неравенству для показателей:

$x - 2 > 2$

Решаем полученное линейное неравенство:

$x > 2 + 2$

$x > 4$

Решение можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

2) $5^{2x} < \frac{1}{25}$

Приведем обе части неравенства к основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$, следовательно, дробь $\frac{1}{25}$ можно записать как $\frac{1}{5^2} = 5^{-2}$.

Неравенство приобретает вид:

$5^{2x} < 5^{-2}$

Основание степени $a=5$ больше единицы ($5 > 1$), поэтому показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства не меняется:

$2x < -2$

Разделим обе части на 2:

$x < -1$

Запишем решение в виде интервала.

Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

3) $0.7^{x^2+2x} < 0.7^3$

В этом неравенстве обе части уже имеют одинаковое основание $a = 0.7$.

Так как основание степени $a=0.7$ меньше единицы, но больше нуля ($0 < 0.7 < 1$), показательная функция $y=0.7^t$ является убывающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x^2 + 2x > 3$

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -3. Корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.

Следовательно, решение неравенства: $x < -3$ или $x > 1$.

Запишем ответ в виде объединения интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

4) $(\frac{1}{3})^{x^2} > \frac{1}{81}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{3}$. Число 81 это $3^4$, значит $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^4$.

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{3})^{x^2} > (\frac{1}{3})^4$

Основание степени $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале ($0 < \frac{1}{3} < 1$), поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к показателям степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 < 4$

Решим это квадратное неравенство. Перенесем 4 в левую часть:

$x^2 - 4 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) < 0$

Корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ это $x=2$ и $x=-2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство со знаком "меньше" выполняется между корнями.

Таким образом, $-2 < x < 2$.

Запишем ответ в виде интервала.

Ответ: $x \in (-2, 2)$.