Номер 739, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (739—741).

739. 1) $0.6^x \cdot \left(\frac{25}{9}\right)^{x^2 - 12} = \left(\frac{27}{125}\right)^3$

2) $16\sqrt{0.25}^{5 - \frac{x}{4}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

1)

Исходное уравнение:

$0.6^x \cdot \left(\frac{25}{9}\right)^{x^2 - 12} = \left(\frac{27}{125}\right)^3$

Приведем все степени к одному основанию. Заметим, что $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$, $\frac{25}{9} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-1}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^{-2}$ и $\frac{27}{125} = \left(\frac{3}{5}\right)^3$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\left(\frac{3}{5}\right)^x \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\right)^{x^2 - 12} = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^3\right)^3$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим левую и правую части:

$\left(\frac{3}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-2(x^2 - 12)} = \left(\frac{3}{5}\right)^{3 \cdot 3}$

$\left(\frac{3}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-2x^2 + 24} = \left(\frac{3}{5}\right)^9$

Используя свойство степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в левой части, получим:

$\left(\frac{3}{5}\right)^{x - 2x^2 + 24} = \left(\frac{3}{5}\right)^9$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x - 2x^2 + 24 = 9$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-2x^2 + x + 24 - 9 = 0$

$-2x^2 + x + 15 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$2x^2 - x - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{1 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{1 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Ответ: $3; -2.5$.

2)

Исходное уравнение:

$16\sqrt{0.25^{5 - \frac{x}{4}}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в правой части должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

Приведем все части уравнения к основанию 2. Заметим, что $16 = 2^4$ и $0.25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$2^4 \cdot \sqrt{(2^{-2})^{5 - \frac{x}{4}}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

Упростим выражение под корнем в левой части, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2^{-2})^{5 - \frac{x}{4}} = 2^{-2(5 - \frac{x}{4})} = 2^{-10 + \frac{2x}{4}} = 2^{-10 + \frac{x}{2}}$

Теперь левая часть выглядит так:

$2^4 \cdot \sqrt{2^{-10 + \frac{x}{2}}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

Представим корень как степень $\frac{1}{2}$:

$2^4 \cdot (2^{-10 + \frac{x}{2}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

$2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}(-10 + \frac{x}{2})} = 2^{\sqrt{x+1}}$

$2^4 \cdot 2^{-5 + \frac{x}{4}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в левой части, получим:

$2^{4 - 5 + \frac{x}{4}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

$2^{\frac{x}{4} - 1} = 2^{\sqrt{x+1}}$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$\frac{x}{4} - 1 = \sqrt{x+1}$

Это иррациональное уравнение. Для его решения возведем обе части в квадрат. При этом необходимо, чтобы обе части были неотрицательны. Правая часть $\sqrt{x+1} \ge 0$ по определению корня. Значит, и левая часть должна быть неотрицательной:

$\frac{x}{4} - 1 \ge 0 \implies \frac{x}{4} \ge 1 \implies x \ge 4$.

Это условие ($x \ge 4$) более строгое, чем ОДЗ ($x \ge -1$), поэтому будем использовать его для проверки корней.

Возводим в квадрат обе части уравнения $\frac{x}{4} - 1 = \sqrt{x+1}$:

$\left(\frac{x}{4} - 1\right)^2 = x+1$

$\frac{x^2}{16} - 2 \cdot \frac{x}{4} \cdot 1 + 1^2 = x+1$

$\frac{x^2}{16} - \frac{x}{2} + 1 = x+1$

$\frac{x^2}{16} - \frac{x}{2} - x = 0$

$\frac{x^2}{16} - \frac{3x}{2} = 0$

Умножим обе части на 16, чтобы избавиться от дробей:

$x^2 - 16 \cdot \frac{3x}{2} = 0$

$x^2 - 24x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-24) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 24$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \ge 4$.

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$, следовательно, это посторонний корень.

$x_2 = 24$ удовлетворяет условию $x \ge 4$, следовательно, это корень уравнения.

Ответ: $24$.