Номер 745, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

745. Построить график функции:

1) $y = 2^{x + |x|};$

2) $y = |3^{|x|} - 3|.$

1) Построить график функции $y = 2^{x + |x|}$.

Для построения графика раскроем модуль в показателе степени. Определение модуля числа: $|x| = x$ при $x \ge 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Подставим это в уравнение функции:

$y = 2^{x + x} = 2^{2x} = (2^2)^x = 4^x$.

Таким образом, для всех неотрицательных значений $x$ график нашей функции совпадает с графиком показательной функции $y = 4^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$, так как $4^0 = 1$. Другая контрольная точка: при $x=1$, $y=4^1=4$.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции:

$y = 2^{x + (-x)} = 2^{x-x} = 2^0 = 1$.

Таким образом, для всех отрицательных значений $x$ функция постоянна и равна 1. Ее график — это горизонтальный луч, идущий из "минус бесконечности" до точки $(0, 1)$, не включая саму точку.

Объединяем результаты:

Функцию можно представить в виде:

$y = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 0 \\ 4^x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

График состоит из двух частей:

• Горизонтальный луч $y=1$ на промежутке $(-\infty, 0)$.
• Часть графика показательной функции $y=4^x$ на промежутке $[0, +\infty)$.

Обе части "стыкуются" в точке $(0, 1)$, так как предел слева равен 1, и значение функции в точке 0 также равно 1.

Ответ: График функции $y = 2^{x + |x|}$ представляет собой горизонтальный луч $y=1$ для $x < 0$, который в точке $(0, 1)$ переходит в график возрастающей показательной функции $y=4^x$ для $x \ge 0$.

2) Построить график функции $y = |3^{|x|} - 3|$.

Построение этого графика удобно выполнить поэтапно, применяя последовательные преобразования к базовой функции.

Шаг 1. Построим график функции $y_1 = 3^x$.

Это стандартная показательная функция с основанием больше 1. График проходит через точку $(0, 1)$ и является возрастающим на всей области определения. Ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Шаг 2. Построим график функции $y_2 = 3^{|x|}$.

Этот график получается из графика $y_1 = 3^x$ преобразованием $f(x) \to f(|x|)$. Для этого часть графика $y_1$, находящаяся в правой полуплоскости ($x \ge 0$), остается без изменений, а часть графика, находящаяся в левой полуплоскости ($x < 0$), заменяется на симметричное отражение правой части относительно оси $Oy$.
Таким образом, график функции $y_2 = 3^{|x|}$ симметричен относительно оси $Oy$. При $x \ge 0$ это $y=3^x$, а при $x < 0$ это $y=3^{-x}$. Минимальное значение достигается в точке $(0, 1)$.

Шаг 3. Построим график функции $y_3 = 3^{|x|} - 3$.

Этот график получается из графика $y_2 = 3^{|x|}$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.
Точка минимума $(0, 1)$ смещается в точку $(0, -2)$.
Найдем точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции):
$3^{|x|} - 3 = 0 \implies 3^{|x|} = 3^1 \implies |x| = 1$.
Отсюда $x=1$ и $x=-1$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Шаг 4. Построим итоговый график функции $y = |3^{|x|} - 3|$.

Этот график получается из графика $y_3 = 3^{|x|} - 3$ преобразованием $f(x) \to |f(x)|$. Часть графика $y_3$, которая находится выше или на оси $Ox$, остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси $Ox$, симметрично отражается относительно оси $Ox$.
У нас график $y_3$ находится ниже оси $Ox$ на интервале $(-1, 1)$. Эту часть мы и отражаем.

• Точка минимума $(0, -2)$ переходит в точку локального максимума $(0, 2)$.
• Точки пересечения $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ остаются на месте, но в них образуются "изломы" графика.
• Части графика при $x \le -1$ и $x \ge 1$ остаются на своих местах.

Ответ: График функции $y = |3^{|x|} - 3|$ симметричен относительно оси $Oy$. Он имеет точки излома в $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и точку локального максимума в $(0, 2)$. При $x \ge 1$ график совпадает с $y=3^x-3$. При $x \le -1$ график совпадает с $y=3^{-x}-3$. На интервале $(-1, 1)$ график представляет собой кривую $y=3-3^{|x|}$.