Номер 748, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

748. Температура металлической заготовки $T$ приближается к температуре окружающей среды $T_0$ за время $t$ по закону $T=T_0+(T_1-T_0)a^t$, где $T_1$ — начальная температура тела, $a$ — коэффициент, характерный для конкретного тела и конкретной окружающей среды (зависит от формы и размеров тела, его теплопроводности и др.). Известно, что за первые 10 мин наблюдения металлическая заготовка остыла с $320^\circ C$ до $290^\circ C$. Какую температуру будет иметь эта заготовка, ещё через 20 мин наблюдения, если температура окружающей среды $20^\circ C$?

Для решения задачи используется закон остывания тела, заданный формулой: $T = T_0 + (T_1 - T_0)a^t$. В этой формуле $T$ — температура тела в момент времени $t$, $T_0$ — температура окружающей среды, $T_1$ — начальная температура тела, $a$ — коэффициент остывания, $t$ — время.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные: температура окружающей среды $T_0 = 20 \,^{\circ}\text{C}$; начальная температура заготовки $T_1 = 320 \,^{\circ}\text{C}$ (в момент времени $t=0$); температура заготовки через 10 минут $T(10) = 290 \,^{\circ}\text{C}$.

Сначала найдем значение коэффициента $a$. Для этого подставим известные данные за первые 10 минут наблюдения в формулу: $290 = 20 + (320 - 20)a^{10}$

Решим это уравнение относительно $a^{10}$: $290 - 20 = 300 \cdot a^{10}$
$270 = 300 \cdot a^{10}$
$a^{10} = \frac{270}{300} = \frac{9}{10} = 0.9$

Теперь необходимо найти температуру заготовки "ещё через 20 мин наблюдения". Это означает, что общее время с начала наблюдения составит $t = 10 + 20 = 30$ минут. Мы ищем температуру $T$ при $t=30$.

Для расчета нам потребуется значение $a^{30}$. Его можно найти, используя ранее вычисленное значение $a^{10}$: $a^{30} = (a^{10})^3 = (0.9)^3 = 0.729$

Подставим все известные значения, включая $a^{30}$, в исходную формулу, чтобы найти температуру в момент времени $t=30$: $T(30) = T_0 + (T_1 - T_0)a^{30}$
$T(30) = 20 + (320 - 20) \cdot 0.729$
$T(30) = 20 + 300 \cdot 0.729$
$T(30) = 20 + 218.7$
$T(30) = 238.7 \,^{\circ}\text{C}$

Ответ: $238.7 \,^{\circ}\text{C}$.