Страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

745. Построить график функции:

1) $y = 2^{x + |x|};$

2) $y = |3^{|x|} - 3|.$

1) Построить график функции $y = 2^{x + |x|}$.

Для построения графика раскроем модуль в показателе степени. Определение модуля числа: $|x| = x$ при $x \ge 0$ и $|x| = -x$ при $x < 0$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$. Подставим это в уравнение функции:

$y = 2^{x + x} = 2^{2x} = (2^2)^x = 4^x$.

Таким образом, для всех неотрицательных значений $x$ график нашей функции совпадает с графиком показательной функции $y = 4^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$, так как $4^0 = 1$. Другая контрольная точка: при $x=1$, $y=4^1=4$.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции:

$y = 2^{x + (-x)} = 2^{x-x} = 2^0 = 1$.

Таким образом, для всех отрицательных значений $x$ функция постоянна и равна 1. Ее график — это горизонтальный луч, идущий из "минус бесконечности" до точки $(0, 1)$, не включая саму точку.

Объединяем результаты:

Функцию можно представить в виде:

$y = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 0 \\ 4^x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

График состоит из двух частей:

• Горизонтальный луч $y=1$ на промежутке $(-\infty, 0)$.
• Часть графика показательной функции $y=4^x$ на промежутке $[0, +\infty)$.

Обе части "стыкуются" в точке $(0, 1)$, так как предел слева равен 1, и значение функции в точке 0 также равно 1.

Ответ: График функции $y = 2^{x + |x|}$ представляет собой горизонтальный луч $y=1$ для $x < 0$, который в точке $(0, 1)$ переходит в график возрастающей показательной функции $y=4^x$ для $x \ge 0$.

2) Построить график функции $y = |3^{|x|} - 3|$.

Построение этого графика удобно выполнить поэтапно, применяя последовательные преобразования к базовой функции.

Шаг 1. Построим график функции $y_1 = 3^x$.

Это стандартная показательная функция с основанием больше 1. График проходит через точку $(0, 1)$ и является возрастающим на всей области определения. Ось $Ox$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Шаг 2. Построим график функции $y_2 = 3^{|x|}$.

Этот график получается из графика $y_1 = 3^x$ преобразованием $f(x) \to f(|x|)$. Для этого часть графика $y_1$, находящаяся в правой полуплоскости ($x \ge 0$), остается без изменений, а часть графика, находящаяся в левой полуплоскости ($x < 0$), заменяется на симметричное отражение правой части относительно оси $Oy$.
Таким образом, график функции $y_2 = 3^{|x|}$ симметричен относительно оси $Oy$. При $x \ge 0$ это $y=3^x$, а при $x < 0$ это $y=3^{-x}$. Минимальное значение достигается в точке $(0, 1)$.

Шаг 3. Построим график функции $y_3 = 3^{|x|} - 3$.

Этот график получается из графика $y_2 = 3^{|x|}$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.
Точка минимума $(0, 1)$ смещается в точку $(0, -2)$.
Найдем точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции):
$3^{|x|} - 3 = 0 \implies 3^{|x|} = 3^1 \implies |x| = 1$.
Отсюда $x=1$ и $x=-1$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Шаг 4. Построим итоговый график функции $y = |3^{|x|} - 3|$.

Этот график получается из графика $y_3 = 3^{|x|} - 3$ преобразованием $f(x) \to |f(x)|$. Часть графика $y_3$, которая находится выше или на оси $Ox$, остается без изменений. Часть графика, которая находится ниже оси $Ox$, симметрично отражается относительно оси $Ox$.
У нас график $y_3$ находится ниже оси $Ox$ на интервале $(-1, 1)$. Эту часть мы и отражаем.

• Точка минимума $(0, -2)$ переходит в точку локального максимума $(0, 2)$.
• Точки пересечения $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ остаются на месте, но в них образуются "изломы" графика.
• Части графика при $x \le -1$ и $x \ge 1$ остаются на своих местах.

Ответ: График функции $y = |3^{|x|} - 3|$ симметричен относительно оси $Oy$. Он имеет точки излома в $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и точку локального максимума в $(0, 2)$. При $x \ge 1$ график совпадает с $y=3^x-3$. При $x \le -1$ график совпадает с $y=3^{-x}-3$. На интервале $(-1, 1)$ график представляет собой кривую $y=3-3^{|x|}$.

746. Решить уравнение:

1) $\frac{0,2^{x+0,5}}{\sqrt{5}} = 5 \cdot 0,04^x$;

2) $4 \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 5 \cdot 3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}}$;

3) $2 \cdot 4^x - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 25^x = 0$;

4) $4 \cdot 9^x + 12^x - 3 \cdot 16^x = 0$.

1) $\frac{0,2^{x+0,5}}{\sqrt{5}} = 5 \cdot 0,04^x$
Для решения этого уравнения приведем все его части к одному основанию, в данном случае к 5.
Представим десятичные дроби и корень в виде степеней с основанием 5:
$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$\sqrt{5} = 5^{1/2} = 5^{0,5}$
$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$
Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\frac{(5^{-1})^{x+0,5}}{5^{0,5}} = 5^1 \cdot (5^{-2})^x$
Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим уравнение:
$\frac{5^{-x-0,5}}{5^{0,5}} = 5^{1-2x}$
$5^{-x-0,5-0,5} = 5^{1-2x}$
$5^{-x-1} = 5^{1-2x}$
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$-x - 1 = 1 - 2x$
$2x - x = 1 + 1$
$x = 2$
Ответ: $2$

2) $4 \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 5 \cdot 3^{x/2} \cdot 2^{x/2}$
Это однородное показательное уравнение. Перепишем его, используя свойства степеней $a^b = (a^{b/2})^2$:
$4 \cdot (3^{x/2})^2 - 9 \cdot (2^{x/2})^2 = 5 \cdot 3^{x/2} \cdot 2^{x/2}$
Разделим обе части уравнения на $(2^{x/2})^2 = 2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом $x$, это преобразование является равносильным.
$4 \cdot \frac{(3^{x/2})^2}{(2^{x/2})^2} - 9 \cdot \frac{(2^{x/2})^2}{(2^{x/2})^2} = 5 \cdot \frac{3^{x/2} \cdot 2^{x/2}}{(2^{x/2})^2}$
$4 \cdot \left(\frac{3^{x/2}}{2^{x/2}}\right)^2 - 9 = 5 \cdot \frac{3^{x/2}}{2^{x/2}}$
$4 \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{x/2}\right)^2 - 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{x/2} - 9 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^{x/2}$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$4t^2 - 5t - 9 = 0$
Решим его через дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2$
$t_1 = \frac{5 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$ (не удовлетворяет условию $t>0$)
$t_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$
Вернемся к исходной переменной:
$\left(\frac{3}{2}\right)^{x/2} = \frac{9}{4}$
$\left(\frac{3}{2}\right)^{x/2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$
Приравниваем показатели:
$\frac{x}{2} = 2$
$x = 4$
Ответ: $4$

3) $2 \cdot 4^x - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 25^x = 0$
Представим $4^x$, $10^x$ и $25^x$ через степени с основаниями 2 и 5:
$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$
$10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$
$25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$
Уравнение принимает вид:
$2 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 5 \cdot (5^x)^2 = 0$
Это однородное уравнение. Разделим обе части на $25^x = (5^x)^2$, что не равно нулю ни при каком $x$.
$2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(5^x)^2} - 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 5 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$
$2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} - 3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 5 = 0$
Сделаем замену $t = (\frac{2}{5})^x$. Учитывая, что $t > 0$, получаем квадратное уравнение:
$2t^2 - 3t - 5 = 0$
Решим его:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$ (не удовлетворяет условию $t>0$)
$t_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
Выполним обратную замену:
$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{5}{2}$
$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$
Отсюда следует:
$x = -1$
Ответ: $-1$

4) $4 \cdot 9^x + 12^x - 3 \cdot 16^x = 0$
Представим члены уравнения через степени с основаниями 3 и 4:
$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$
$12^x = (3 \cdot 4)^x = 3^x \cdot 4^x$
$16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$
Подставим в уравнение:
$4 \cdot (3^x)^2 + 3^x \cdot 4^x - 3 \cdot (4^x)^2 = 0$
Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части на $16^x = (4^x)^2 \neq 0$:
$4 \cdot \frac{(3^x)^2}{(4^x)^2} + \frac{3^x \cdot 4^x}{(4^x)^2} - 3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(4^x)^2} = 0$
$4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} + \left(\frac{3}{4}\right)^x - 3 = 0$
Произведем замену $t = (\frac{3}{4})^x$, где $t > 0$.
$4t^2 + t - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение:
$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$ (посторонний корень, так как $t>0$)
$t_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
Вернемся к переменной $x$:
$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{3}{4}$
$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^1$
Следовательно, $x = 1$.
Ответ: $1$

747. Решить неравенство:

1) $3^{|x-2|} < 9;$

2) $4^{|x+1|} \ge 16;$

3) $2^{|x-2|} \ge 4^{|x+1|};$

4) $5^{|x+4|} < 25^{|x|}.$

Исходное неравенство: $3^{|x-2|} < 9$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

Неравенство принимает вид: $3^{|x-2|} < 3^2$.

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$|x-2| < 2$.

Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:

$-2 < x-2 < 2$.

Прибавим ко всем частям неравенства 2, чтобы найти $x$:

$-2 + 2 < x - 2 + 2 < 2 + 2$

$0 < x < 4$.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(0, 4)$.

Ответ: $x \in (0, 4)$.

Исходное неравенство: $4^{|x+1|} > 16$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 4: $16 = 4^2$.

Неравенство принимает вид: $4^{|x+1|} > 4^2$.

Так как основание степени $4 > 1$, знак неравенства для показателей степени сохраняется:

$|x+1| > 2$.

Это неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств:

$x+1 > 2$ или $x+1 < -2$.

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x+1 > 2 \implies x > 1$.

2) $x+1 < -2 \implies x < -3$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$.

Исходное неравенство: $2^{|x-2|} \ge 4^{|x+1|}$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию 2. Так как $4 = 2^2$, то $4^{|x+1|} = (2^2)^{|x+1|} = 2^{2|x+1|}$.

Неравенство принимает вид: $2^{|x-2|} \ge 2^{2|x+1|}$.

Поскольку основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей степени сохраняется:

$|x-2| \ge 2|x+1|$.

Так как обе части этого неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(|x-2|)^2 \ge (2|x+1|)^2$

$(x-2)^2 \ge 4(x+1)^2$.

Раскроем скобки:

$x^2 - 4x + 4 \ge 4(x^2 + 2x + 1)$

$x^2 - 4x + 4 \ge 4x^2 + 8x + 4$.

Перенесем все члены в правую часть:

$0 \ge 4x^2 - x^2 + 8x + 4x + 4 - 4$

$0 \ge 3x^2 + 12x$.

Или, что то же самое: $3x^2 + 12x \le 0$.

Разделим обе части на 3: $x^2 + 4x \le 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x+4) \le 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x+4)=0$: $x_1=0$, $x_2=-4$.

Решением неравенства является промежуток между корнями, включая сами корни, так как ветви параболы $y=x^2+4x$ направлены вверх, а нам нужно найти, где $y \le 0$.

$-4 \le x \le 0$.

Ответ: $x \in [-4, 0]$.

Исходное неравенство: $5^{|x+4|} < 25^{|x|}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 5. Так как $25 = 5^2$, то $25^{|x|} = (5^2)^{|x|} = 5^{2|x|}$.

Неравенство принимает вид: $5^{|x+4|} < 5^{2|x|}$.

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$|x+4| < 2|x|$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат:

$(|x+4|)^2 < (2|x|)^2$

$(x+4)^2 < 4x^2$.

Раскроем скобки:

$x^2 + 8x + 16 < 4x^2$.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$0 < 3x^2 - 8x - 16$.

Решим неравенство $3x^2 - 8x - 16 > 0$.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 8x - 16 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$.

Парабола $y = 3x^2 - 8x - 16$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $3x^2 - 8x - 16 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.

Таким образом, $x < -4/3$ или $x > 4$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4/3) \cup (4, \infty)$.

748. Температура металлической заготовки $T$ приближается к температуре окружающей среды $T_0$ за время $t$ по закону $T=T_0+(T_1-T_0)a^t$, где $T_1$ — начальная температура тела, $a$ — коэффициент, характерный для конкретного тела и конкретной окружающей среды (зависит от формы и размеров тела, его теплопроводности и др.). Известно, что за первые 10 мин наблюдения металлическая заготовка остыла с $320^\circ C$ до $290^\circ C$. Какую температуру будет иметь эта заготовка, ещё через 20 мин наблюдения, если температура окружающей среды $20^\circ C$?

Для решения задачи используется закон остывания тела, заданный формулой: $T = T_0 + (T_1 - T_0)a^t$. В этой формуле $T$ — температура тела в момент времени $t$, $T_0$ — температура окружающей среды, $T_1$ — начальная температура тела, $a$ — коэффициент остывания, $t$ — время.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные: температура окружающей среды $T_0 = 20 \,^{\circ}\text{C}$; начальная температура заготовки $T_1 = 320 \,^{\circ}\text{C}$ (в момент времени $t=0$); температура заготовки через 10 минут $T(10) = 290 \,^{\circ}\text{C}$.

Сначала найдем значение коэффициента $a$. Для этого подставим известные данные за первые 10 минут наблюдения в формулу: $290 = 20 + (320 - 20)a^{10}$

Решим это уравнение относительно $a^{10}$: $290 - 20 = 300 \cdot a^{10}$
$270 = 300 \cdot a^{10}$
$a^{10} = \frac{270}{300} = \frac{9}{10} = 0.9$

Теперь необходимо найти температуру заготовки "ещё через 20 мин наблюдения". Это означает, что общее время с начала наблюдения составит $t = 10 + 20 = 30$ минут. Мы ищем температуру $T$ при $t=30$.

Для расчета нам потребуется значение $a^{30}$. Его можно найти, используя ранее вычисленное значение $a^{10}$: $a^{30} = (a^{10})^3 = (0.9)^3 = 0.729$

Подставим все известные значения, включая $a^{30}$, в исходную формулу, чтобы найти температуру в момент времени $t=30$: $T(30) = T_0 + (T_1 - T_0)a^{30}$
$T(30) = 20 + (320 - 20) \cdot 0.729$
$T(30) = 20 + 300 \cdot 0.729$
$T(30) = 20 + 218.7$
$T(30) = 238.7 \,^{\circ}\text{C}$

Ответ: $238.7 \,^{\circ}\text{C}$.

749. Решить уравнение $3^x + 4^x = \left(\frac{1}{5}\right)^x + \left(\frac{1}{6}\right)^x$.

Дано уравнение: $3^x + 4^x = \left(\frac{1}{5}\right)^x + \left(\frac{1}{6}\right)^x$

Для решения этого уравнения рассмотрим две функции, представляющие левую и правую части уравнения. Пусть $f(x) = 3^x + 4^x$ и $g(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x + \left(\frac{1}{6}\right)^x$. Тогда исходное уравнение можно записать в виде $f(x) = g(x)$.

Исследуем монотонность каждой из этих функций.

Функция $f(x) = 3^x + 4^x$ является суммой двух показательных функций $y_1=3^x$ и $y_2=4^x$. Основания этих функций ($3$ и $4$) больше 1, поэтому обе функции являются строго возрастающими. Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией. Следовательно, $f(x)$ — строго возрастающая функция на всей числовой оси.

Функция $g(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x + \left(\frac{1}{6}\right)^x$ является суммой двух показательных функций $y_3=\left(\frac{1}{5}\right)^x$ и $y_4=\left(\frac{1}{6}\right)^x$. Основания этих функций ($\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$) находятся в интервале от 0 до 1, поэтому обе функции являются строго убывающими. Сумма двух строго убывающих функций также является строго убывающей функцией. Следовательно, $g(x)$ — строго убывающая функция на всей числовой оси.

Уравнение $f(x) = g(x)$ имеет решение в точке пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$. Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $x=0$: $f(0) = 3^0 + 4^0 = 1 + 1 = 2$ $g(0) = \left(\frac{1}{5}\right)^0 + \left(\frac{1}{6}\right)^0 = 1 + 1 = 2$ Поскольку $f(0) = g(0)$, значение $x=0$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что уравнение не может иметь более одного корня, то $x=0$ является единственным решением.

Ответ: $x=0$.

750. Найти все значения b, при которых уравнение

$4^x - (5b - 3) \cdot 2^x + 4b^2 - 3b = 0$

имеет единственный корень.

Данное уравнение $4^x - (5b - 3) \cdot 2^x + 4b^2 - 3b = 0$ является показательным. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.С учетом замены, исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:$t^2 - (5b - 3)t + 4b^2 - 3b = 0$.

Исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень.Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно вычислить дискриминант, но в данном случае корни легко угадываются, если заметить, что свободный член $4b^2 - 3b$ раскладывается на множители $b(4b-3)$. Проверим, являются ли $t_1 = b$ и $t_2 = 4b - 3$ корнями уравнения с помощью теоремы Виета.Сумма корней: $t_1 + t_2 = b + (4b - 3) = 5b - 3$. Это соответствует коэффициенту при $t$, взятому с противоположным знаком.Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = b(4b - 3) = 4b^2 - 3b$. Это соответствует свободному члену.Следовательно, корнями квадратного уравнения являются $t_1 = b$ и $t_2 = 4b - 3$.

Теперь нам нужно найти все значения параметра $b$, при которых ровно один из этих корней положителен. Рассмотрим следующие случаи:

1. Корни равны и положительны ($t_1 = t_2 > 0$).$b = 4b - 3$$3b = 3$$b = 1$.При $b=1$ оба корня равны $t_1 = t_2 = 1$. Так как $1 > 0$, это значение $b$ удовлетворяет условию задачи. Уравнение имеет единственный корень $t=1$, что дает единственный корень $x=0$.

2. Один корень положителен, а другой отрицателен или равен нулю ($t_1 > 0$ и $t_2 \le 0$, или $t_2 > 0$ и $t_1 \le 0$).

Рассмотрим первую подсистему:$\begin{cases} t_1 > 0 \\ t_2 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} b > 0 \\ 4b - 3 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} b > 0 \\ 4b \le 3 \end{cases} \implies \begin{cases} b > 0 \\ b \le \frac{3}{4} \end{cases}$.Решением этой системы является интервал $b \in (0, \frac{3}{4}]$.

Рассмотрим вторую подсистему:$\begin{cases} t_2 > 0 \\ t_1 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4b - 3 > 0 \\ b \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4b > 3 \\ b \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} b > \frac{3}{4} \\ b \le 0 \end{cases}$.Эта система не имеет решений.

Объединяя все найденные значения $b$, получаем, что исходное уравнение имеет единственный корень при $b=1$ и при $b \in (0, \frac{3}{4}]$.

Ответ: $b \in (0, \frac{3}{4}] \cup \{1\}$.

751. Решить уравнение

$(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = 4.$

Заметим, что основания степеней в уравнении $(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = 4$ являются взаимно обратными числами. Проверим это, найдя их произведение:

$(\sqrt{2+\sqrt{3}}) \cdot (\sqrt{2-\sqrt{3}}) = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$.

Так как произведение равно 1, то $\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$.

Введем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x$. Поскольку основание степени $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ положительно, то и $t$ должно быть положительным ($t > 0$).

Тогда второе слагаемое уравнения можно выразить через $t$:

$(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = \left(\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right)^x = \frac{1}{(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x} = \frac{1}{t}$.

Подставим замену в исходное уравнение, оно примет вид:

$t + \frac{1}{t} = 4$.

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $t$ (это допустимо, так как $t \neq 0$) и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + 1 = 4t$

$t^2 - 4t + 1 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью формулы для нахождения корней:

$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Мы получили два возможных значения для $t$: $t_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $t_2 = 2 - \sqrt{3}$. Оба эти значения положительны, поэтому удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $x$.

1. Если $t = 2 + \sqrt{3}$:

$(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = 2 + \sqrt{3}$.

Представим левую часть как степень с основанием $(2+\sqrt{3})$:

$(2+\sqrt{3})^{x/2} = (2+\sqrt{3})^1$.

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$\frac{x}{2} = 1 \implies x = 2$.

2. Если $t = 2 - \sqrt{3}$:

$(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = 2 - \sqrt{3}$.

Ранее мы установили, что $2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}$. Подставим это выражение в уравнение:

$(2+\sqrt{3})^{x/2} = (2+\sqrt{3})^{-1}$.

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$\frac{x}{2} = -1 \implies x = -2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = -2; x = 2$.

752. Решить уравнение $2^{|x+1|} - |2^x - 1| = 1 + 2^x$.

Для решения данного уравнения, содержащего модули, рассмотрим несколько случаев, в зависимости от знаков выражений под модулями. Таких выражений два: $x+1$ и $2^x-1$.

Найдем точки, в которых эти выражения равны нулю:

$x+1=0 \implies x=-1$

$2^x-1=0 \implies 2^x=1 \implies x=0$

Эти точки делят числовую ось на три промежутка. Раскроем модули на каждом из этих промежутков.

Случай 1: $x < -1$

На этом промежутке $x+1 < 0$, следовательно, $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.

Также, так как $x < 0$, то $2^x < 1$, значит $2^x-1 < 0$. Следовательно, $|2^x-1| = -(2^x-1) = 1-2^x$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2^{-x-1} - (1-2^x) = 1+2^x$

$2^{-x-1} - 1 + 2^x = 1+2^x$

$2^{-x-1} = 2$

$2^{-x-1} = 2^1$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$-x-1 = 1$

$-x = 2$

$x = -2$

Поскольку $-2 < -1$, данное значение принадлежит рассматриваемому промежутку, а значит, является корнем уравнения.

Случай 2: $-1 \le x < 0$

На этом промежутке $x+1 \ge 0$, следовательно, $|x+1| = x+1$.

Так как $x < 0$, то $2^x < 1$, значит $2^x-1 < 0$. Следовательно, $|2^x-1| = -(2^x-1) = 1-2^x$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2^{x+1} - (1-2^x) = 1+2^x$

$2^{x+1} - 1 + 2^x = 1+2^x$

$2^{x+1} = 2$

$2^{x+1} = 2^1$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$x+1 = 1$

$x = 0$

Полученное значение $x=0$ не входит в рассматриваемый промежуток $[-1; 0)$. Следовательно, на этом промежутке решений нет.

Случай 3: $x \ge 0$

На этом промежутке $x+1 > 0$, следовательно, $|x+1| = x+1$.

Также, так как $x \ge 0$, то $2^x \ge 1$, значит $2^x-1 \ge 0$. Следовательно, $|2^x-1| = 2^x-1$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2^{x+1} - (2^x-1) = 1+2^x$

$2^{x+1} - 2^x + 1 = 1+2^x$

Используя свойство $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$, перепишем левую часть:

$2 \cdot 2^x - 2^x + 1 = 1+2^x$

$2^x + 1 = 1+2^x$

Это равенство является тождеством и верно для всех $x$ из рассматриваемого промежутка. Следовательно, все значения $x \ge 0$ являются решениями уравнения.

Объединяя результаты, полученные во всех случаях, находим итоговое множество решений.

Ответ: $\{-2\} \cup [0; +\infty)$.

1. Какого вида функцию называют показательной?

1. Показательной функцией (или экспонентой) называют функцию вида $y = a^x$, где $a$ — заданное число, называемое основанием, а $x$ — переменная (аргумент), которая находится в показателе степени.

Для того чтобы функция считалась показательной, на ее основание $a$ накладываются строгие ограничения:

1. Основание должно быть положительным числом, то есть $a > 0$. Это требование связано с тем, что возведение в действительную (в частности, иррациональную) степень отрицательного числа или нуля не всегда определено в области действительных чисел. Например, выражение $(-4)^{1/2}$ не является действительным числом.

2. Основание не должно равняться единице, то есть $a \neq 1$. Если $a = 1$, то функция принимает вид $y = 1^x = 1$, что является постоянной (константной) функцией, а не показательной. Свойства такой функции кардинально отличаются.

Таким образом, показательная функция однозначно определяется своим основанием $a$, которое должно удовлетворять условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Аргумент $x$ может принимать любые действительные значения.

Примеры показательных функций: $y = 2^x$, $y = (1/3)^x$, $y = (\sqrt{5})^x$, $y = e^x$.

Ответ: Показательной функцией называют функцию вида $y = a^x$, где $a$ — основание, являющееся положительным числом и не равное единице ($a > 0$, $a \neq 1$), а $x$ — переменная.

2. Является ли показательной функция $y = 2^{2x}$? $y = x^x$? $y = 1^x$?

Для ответа на вопрос необходимо вспомнить определение показательной функции. Показательная функция — это функция вида $y = a^x$, где основание $a$ является постоянным числом (константой), удовлетворяющим условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

y = 2^2x?

Рассмотрим функцию $y = 2^{2x}$. Используя свойство степеней $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$, мы можем преобразовать данное выражение:
$y = 2^{2x} = (2^2)^x = 4^x$.
Полученная функция $y = 4^x$ имеет вид $y = a^x$, где основание $a = 4$.
Проверим, удовлетворяет ли основание $a = 4$ условиям определения показательной функции:
1. $a > 0$ (так как $4 > 0$) — условие выполняется.
2. $a \neq 1$ (так как $4 \neq 1$) — условие выполняется.
Следовательно, данная функция является показательной.
Ответ: да.

y = x^x?

Рассмотрим функцию $y = x^x$. В этой функции и основание ($x$), и показатель степени ($x$) являются переменными.
Согласно определению показательной функции, её основание $a$ должно быть постоянным числом (константой). В функции $y = x^x$ основание является переменной, поэтому она не является показательной. Она также не является степенной, так как у степенной функции ($y=x^n$) показатель должен быть константой.
Ответ: нет.

y = 1^x?

Рассмотрим функцию $y = 1^x$. Эта функция имеет вид $y = a^x$, где основание $a = 1$.
Однако, в определении показательной функции есть важное ограничение на основание: $a \neq 1$.
Это ограничение введено потому, что при $a=1$ функция вырождается в постоянную функцию $y = 1^x = 1$. Такая функция не обладает ключевыми свойствами показательных функций (например, она не является строго монотонной и не имеет обратной функции), поэтому ее не относят к классу показательных.
Ответ: нет.

3. Перечислить свойства показательной функции.

Показательной функцией называется функция вида $y = a^x$, где основание $a$ — это заданное число, такое что $a > 0$ и $a \neq 1$.

Основные свойства показательной функции можно разделить на общие и те, что зависят от величины основания $a$.

Общие свойства (для любого основания $a > 0, a \neq 1$)

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех положительных действительных чисел, $E(y) = (0; +\infty)$.
• Положительность: функция принимает только положительные значения ($a^x > 0$) на всей области определения.
• Точка пересечения с осью Oy: график функции всегда пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$, так как $a^0 = 1$ для любого $a$.
• Отсутствие нулей: график функции не пересекает ось абсцисс, так как уравнение $a^x = 0$ не имеет корней.
• Горизонтальная асимптота: ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
• Четность: функция является функцией общего вида, то есть не является ни четной, ни нечетной.

Свойства при основании $a > 1$

• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$.
• Поведение на бесконечности: при $x \to +\infty$ значения функции неограниченно возрастают ($y \to +\infty$), а при $x \to -\infty$ значения функции стремятся к нулю ($y \to 0$).

Свойства при основании $0 < a < 1$

• Монотонность: функция является строго убывающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.
• Поведение на бесконечности: при $x \to +\infty$ значения функции стремятся к нулю ($y \to 0$), а при $x \to -\infty$ значения функции неограниченно возрастают ($y \to +\infty$).

Ответ: Ключевыми свойствами показательной функции $y = a^x$ являются: область определения — все действительные числа $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений — все положительные действительные числа $E(y) = (0; +\infty)$; обязательное прохождение графика через точку $(0, 1)$; наличие горизонтальной асимптоты $y=0$; монотонное возрастание при $a>1$ и монотонное убывание при $0 < a < 1$.

4. Привести пример реального явления (процесса), которое можно описать показательной функцией.

Показательная функция используется для моделирования процессов, в которых скорость изменения некоторой величины пропорциональна значению самой этой величины. Это приводит к экспоненциальному росту (если величина увеличивается) или экспоненциальному убыванию (если величина уменьшается). Ниже приведены примеры таких процессов.

Рост популяции

В идеальных условиях с неограниченными ресурсами (пища, пространство) рост популяции живых организмов, например, бактерий, можно описать показательной функцией. Скорость размножения пропорциональна текущей численности популяции: чем больше особей, тем больше потомства они производят за единицу времени.

Представим, что колония бактерий удваивается каждый час. Если в начальный момент времени ($t=0$) было $N_0$ бактерий, то через час их станет $2N_0$, через два часа — $4N_0$, и так далее. Зависимость числа бактерий $N$ от времени $t$ выражается формулой:

$N(t) = N_0 \cdot 2^t$

где $N_0$ — начальная численность популяции, а $t$ — время в часах. В общем виде функция экспоненциального роста имеет вид $y(x) = A \cdot a^x$, где основание степени $a > 1$.

Радиоактивный распад

Процесс распада нестабильных атомных ядер является классическим примером экспоненциального убывания. Скорость распада в любой момент времени пропорциональна количеству еще не распавшихся ядер. Этот процесс характеризуется периодом полураспада ($T$) — временем, за которое распадается половина от исходного числа радиоактивных ядер.

Например, период полураспада изотопа углерод-14 ($^{14}C$) составляет примерно 5730 лет. Это означает, что любое количество $^{14}C$ уменьшится вдвое за этот срок. Масса $m$ вещества, оставшегося через время $t$, описывается функцией:

$m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

где $m_0$ — начальная масса вещества, $t$ — прошедшее время, $T$ — период полураспада. Здесь основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, что характерно для экспоненциального убывания.

Сложный процент

В финансовой математике рост банковского вклада с начислением сложных процентов также описывается показательной функцией. При использовании схемы сложных процентов начисленный доход прибавляется к основной сумме, и в следующем периоде проценты начисляются уже на новую, увеличенную сумму.

Сумма на счете ($S$) через $n$ лет вычисляется по формуле:

$S = P \cdot (1 + r)^n$

где $P$ — первоначальный вклад (принципал), $r$ — годовая процентная ставка (в долях от единицы), $n$ — количество лет. Сумма вклада растет экспоненциально с течением времени.

Ответ: Примерами реальных явлений, описываемых показательной функцией, являются рост популяции бактерий в идеальных условиях (экспоненциальный рост), радиоактивный распад (экспоненциальное убывание) и капитализация процентов по банковскому вкладу (сложный процент).

5. Какие уравнения называют показательными?

Показательным уравнением называется уравнение, в котором переменная (неизвестное) находится в показателе степени.

В общем виде простейшее показательное уравнение записывается как $a^x = b$, где $a$ – основание степени, $x$ – переменная, $b$ – некоторое число. В более общем виде показательное уравнение — это любое уравнение, содержащее выражение вида $a^{f(x)}$, где $f(x)$ – это функция, зависящая от переменной $x$.

Ключевым условием для показательных уравнений является то, что основание степени $a$ должно быть положительным и не равным единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$. Эти ограничения важны, так как: 1) при $a=1$ уравнение $1^x = b$ либо не имеет решений (если $b \neq 1$), либо его решением является любое действительное число (если $b=1$), что делает его тривиальным; 2) при $a \le 0$ степень $a^x$ определена не для всех действительных значений $x$ (например, $(-4)^{0.5}$ не является действительным числом), что усложняет нахождение решений.

Примерами показательных уравнений являются: $2^x = 16$; $5^{2x-3} = 25$; $3^{x^2 - x} = 9$; $4^{x+1} + 4^x = 320$.

Основной метод решения таких уравнений — приведение обеих частей к степеням с одинаковым основанием. Если уравнение имеет вид $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, то благодаря свойству монотонности показательной функции оно равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, которое, как правило, является более простым (например, алгебраическим).

Ответ: Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная (неизвестное) содержится в показателе степени, а основание степени является положительным, не равным единице числом.

6. На основании какого свойства степени решается уравнение $7^x = 7^{2.5}$?

Данное уравнение $7^x = 7^{2,5}$ решается на основании следующего свойства степени: если две степени с одинаковым положительным основанием, не равным единице, равны, то равны и их показатели.

В виде формулы это свойство записывается так:
Если $a^x = a^y$, при условии что $a > 0$ и $a \neq 1$, то $x = y$.

Это свойство является следствием монотонности показательной функции $y = a^x$. При $a > 1$ (как в нашем случае, где основание $a=7$) функция является строго возрастающей, а при $0 < a < 1$ — строго убывающей. В обоих случаях функция является взаимно-однозначной (инъективной), что означает, что каждому значению показателя степени $x$ соответствует единственное значение степени $a^x$, и наоборот. Поэтому из равенства значений функции ($a^x = a^y$) следует равенство аргументов ($x = y$).

Применяя это свойство к уравнению $7^x = 7^{2,5}$, мы видим, что основания степеней в левой и правой частях уравнения одинаковы и равны 7. Так как $7 > 0$ и $7 \neq 1$, мы можем приравнять показатели степеней:
$x = 2,5$.

Ответ: Уравнение решается на основании свойства, согласно которому равенство двух степеней с одинаковым основанием ($a > 0, a \neq 1$) влечет за собой равенство их показателей. Применение этого свойства к уравнению $7^x = 7^{2,5}$ дает решение $x = 2,5$.

7. На основании какого свойства показательной функции решается неравенство $0.4^x > 0.4^5$?

Данное неравенство $0,4^x > 0,4^5$ является показательным. Для его решения используется свойство монотонности показательной функции $y = a^x$.

Свойства монотонности показательной функции зависят от ее основания $a$:

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. При решении неравенств вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ знак неравенства для показателей сохраняется: $f(x) > g(x)$.
• Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. При решении неравенств вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ знак неравенства для показателей меняется на противоположный: $f(x) < g(x)$.

В рассматриваемом неравенстве $0,4^x > 0,4^5$ основание степени равно $a = 0,4$.

Так как основание $a = 0,4$ удовлетворяет условию $0 < 0,4 < 1$, показательная функция $y = 0,4^x$ является убывающей на всей своей области определения.

Именно на основании этого свойства (убывания функции) при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей необходимо изменить знак неравенства с «>» на «<». Решение неравенства выглядит следующим образом:

$0,4^x > 0,4^5 \implies x < 5$

Ответ: Неравенство решается на основании свойства монотонного убывания показательной функции $y=a^x$ при основании $a$, удовлетворяющем условию $0 < a < 1$.