Страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

753. Найти логарифмы чисел по основанию 3:

3, 9, 27, 81, 1, $ \frac{1}{3} $, $ \frac{1}{9} $, $ \frac{1}{243} $, $ \sqrt[3]{3} $, $ \frac{1}{3\sqrt{3}} $, $ 9\sqrt[4]{3} $.

Для нахождения логарифмов данных чисел по основанию 3 мы будем использовать определение логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$. Наша задача — для каждого числа $b$ из списка найти такое число $c$, что $3^c = b$.

3 Чтобы найти $\log_3 3$, нужно определить, в какую степень следует возвести основание 3, чтобы получить число 3. Очевидно, что $3^1 = 3$. Следовательно, $\log_3 3 = 1$. Ответ: 1.

9 Чтобы найти $\log_3 9$, представим число 9 в виде степени с основанием 3. Так как $9 = 3^2$, то логарифм равен показателю этой степени. $\log_3 9 = \log_3(3^2) = 2$. Ответ: 2.

27 Чтобы найти $\log_3 27$, представим число 27 как степень числа 3. Так как $27 = 3^3$, то логарифм равен 3. $\log_3 27 = \log_3(3^3) = 3$. Ответ: 3.

81 Чтобы найти $\log_3 81$, представим число 81 как степень числа 3. Так как $81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$, то логарифм равен 4. $\log_3 81 = \log_3(3^4) = 4$. Ответ: 4.

1 Чтобы найти $\log_3 1$, вспомним, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Таким образом, $3^0 = 1$. $\log_3 1 = 0$. Ответ: 0.

$\frac{1}{3}$ Чтобы найти $\log_3 \frac{1}{3}$, используем свойство степеней с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. В нашем случае $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. $\log_3 \frac{1}{3} = \log_3(3^{-1}) = -1$. Ответ: -1.

$\frac{1}{9}$ Чтобы найти $\log_3 \frac{1}{9}$, представим знаменатель как степень тройки: $9 = 3^2$. Тогда дробь можно записать как $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$. $\log_3 \frac{1}{9} = \log_3(3^{-2}) = -2$. Ответ: -2.

$\frac{1}{243}$ Чтобы найти $\log_3 \frac{1}{243}$, сначала представим 243 как степень числа 3. Путем последовательного умножения на 3 получаем: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$. Следовательно, $\frac{1}{243} = \frac{1}{3^5} = 3^{-5}$. $\log_3 \frac{1}{243} = \log_3(3^{-5}) = -5$. Ответ: -5.

$\sqrt[3]{3}$ Чтобы найти $\log_3 \sqrt[3]{3}$, используем свойство степеней с дробным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$. Таким образом, кубический корень из 3 можно записать как $3^{1/3}$. $\log_3 \sqrt[3]{3} = \log_3(3^{1/3}) = \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$.

$\frac{1}{3\sqrt{3}}$ Чтобы найти $\log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}}$, сначала упростим выражение в знаменателе. Представим каждый множитель как степень числа 3: $3 = 3^1$ и $\sqrt{3} = 3^{1/2}$. Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем: $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{3/2}$. Тогда вся дробь равна $\frac{1}{3^{3/2}} = 3^{-3/2}$. $\log_3 \left(\frac{1}{3\sqrt{3}}\right) = \log_3(3^{-3/2}) = -\frac{3}{2}$. Ответ: $-\frac{3}{2}$.

$9\sqrt[4]{3}$ Чтобы найти $\log_3 (9\sqrt[4]{3})$, представим все выражение как степень числа 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $\sqrt[4]{3} = 3^{1/4}$. Перемножим эти степени: $9\sqrt[4]{3} = 3^2 \cdot 3^{1/4} = 3^{2+\frac{1}{4}} = 3^{\frac{8}{4}+\frac{1}{4}} = 3^{9/4}$. $\log_3 (9\sqrt[4]{3}) = \log_3(3^{9/4}) = \frac{9}{4}$. Ответ: $\frac{9}{4}$.

Вычислить (754—763).

754. 1) $ \log_2 16 $;

2) $ \log_2 64 $;

3) $ \log_2 2 $;

4) $ \log_2 1 $.

1)

Для того чтобы вычислить $\log_2 16$, необходимо найти показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число 16. Это эквивалентно решению уравнения $2^x = 16$.

Представим число 16 в виде степени с основанием 2: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.

Таким образом, уравнение $2^x = 16$ можно переписать как $2^x = 2^4$. Отсюда следует, что $x=4$.

Также можно применить свойство логарифма $\log_a(a^p) = p$: $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$.

Ответ: 4

2)

Чтобы вычислить $\log_2 64$, найдем показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $2^x = 64$.

Представим число 64 в виде степени с основанием 2: $64 = 2^6$.

Уравнение $2^x = 64$ принимает вид $2^x = 2^6$, из чего следует, что $x=6$.

Используя то же свойство логарифма: $\log_2 64 = \log_2(2^6) = 6$.

Ответ: 6

3)

Чтобы вычислить $\log_2 2$, необходимо найти показатель степени $x$, для которого $2^x = 2$.

Любое число в первой степени равно самому себе, то есть $a^1 = a$. Для нашего случая $2^1 = 2$, значит $x=1$.

Это также следует из основного свойства логарифма $\log_a a = 1$. $\log_2 2 = 1$.

Ответ: 1

4)

Чтобы вычислить $\log_2 1$, найдем показатель степени $x$, для которого $2^x = 1$.

Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице, то есть $a^0 = 1$. Для нашего случая $2^0 = 1$, значит $x=0$.

Это также следует из основного свойства логарифма $\log_a 1 = 0$ (при $a > 0, a \neq 1$). $\log_2 1 = 0$.

Ответ: 0

755. 1) $\log_2 \frac{1}{2}$;

2) $\log_2 \frac{1}{8}$;

3) $\log_2 \sqrt{2}$;

4) $\log_3 \frac{1}{\sqrt{3}}$.

1) Чтобы вычислить $log_2 \frac{1}{2}$, нужно найти такую степень $x$, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число $\frac{1}{2}$. Это следует из определения логарифма: $log_b a = x \Leftrightarrow b^x = a$. Таким образом, мы решаем уравнение $2^x = \frac{1}{2}$. Представим дробь $\frac{1}{2}$ в виде степени с основанием 2. Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} = 2^{-1}$. Теперь уравнение принимает вид $2^x = 2^{-1}$. Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны. Следовательно, $x = -1$. Ответ: $-1$.

2) Для вычисления $log_2 \frac{1}{8}$ действуем аналогично. Ищем такое число $x$, что $2^x = \frac{1}{8}$. Сначала представим число 8 в виде степени с основанием 2. Поскольку $2^3 = 8$, мы можем переписать правую часть уравнения. Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$. Уравнение приобретает вид $2^x = 2^{-3}$. Из равенства оснований следует равенство показателей: $x = -3$. Ответ: $-3$.

3) Чтобы найти значение $log_2 \sqrt{2}$, ищем показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $2^x = \sqrt{2}$. Вспомним, что квадратный корень можно представить в виде степени с дробным показателем: $\sqrt{a} = a^{1/2}$. Применив это правило, получим $\sqrt{2} = 2^{1/2}$. Наше уравнение принимает вид $2^x = 2^{1/2}$. Так как основания степеней одинаковы, приравниваем их показатели: $x = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Для вычисления $log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ найдем такое $x$, что $3^x = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$. Сначала преобразуем выражение под логарифмом. Корень четвертой степени можно записать как степень с показателем $\frac{1}{4}$: $\sqrt[4]{3} = 3^{1/4}$. Тогда дробь $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ можно переписать как $\frac{1}{3^{1/4}}$. Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $3^{-1/4}$. Итак, наше уравнение выглядит как $3^x = 3^{-1/4}$. Из равенства оснований следует, что $x = -\frac{1}{4}$. Ответ: $-\frac{1}{4}$.

756. 1) $\log_3 27$;

2) $\log_3 81$;

3) $\log_3 3$;

4) $\log_3 1$.

1) Логарифм числа по определенному основанию — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить это число. В данном случае нам нужно найти значение $\log_3 27$. Это значит, что нам нужно найти такое число $x$, для которого выполняется равенство $3^x = 27$. Мы знаем, что число $27$ можно представить как степень числа $3$: $3^1 = 3$ $3^2 = 9$ $3^3 = 27$ Таким образом, $x=3$. Следовательно, $\log_3 27 = 3$.
Ответ: 3

2) Нам нужно найти значение $\log_3 81$. Для этого найдем показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание $3$, чтобы получить число $81$. Запишем это в виде уравнения: $3^x = 81$. Разложим число $81$ на множители, являющиеся степенями тройки: $81 = 9 \times 9 = (3 \times 3) \times (3 \times 3) = 3^4$. Таким образом, уравнение принимает вид $3^x = 3^4$, откуда следует, что $x=4$. Значит, $\log_3 81 = 4$.
Ответ: 4

3) Найдем значение $\log_3 3$. Нам нужно найти такое число $x$, что $3^x = 3$. Любое число в первой степени равно самому себе, то есть $3^1 = 3$. Также можно воспользоваться свойством логарифма: $\log_a a = 1$. Следовательно, $x=1$. Таким образом, $\log_3 3 = 1$.
Ответ: 1

4) Найдем значение $\log_3 1$. Для этого необходимо найти показатель степени $x$, такой что $3^x = 1$. Согласно свойству степеней, любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. То есть, $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$. В нашем случае $3^0 = 1$, значит $x=0$. Это также соответствует общему свойству логарифмов: $\log_a 1 = 0$ для любого основания $a > 0$ и $a \neq 1$. Следовательно, $\log_3 1 = 0$.
Ответ: 0

757. 1) $\log_3 \frac{1}{9}$;

2) $\log_3 \frac{1}{3}$;

3) $\log_3 \sqrt[4]{3}$;

4) $\log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{9}}$.

1) Для вычисления $ \log_3 \frac{1}{9} $ нужно найти показатель степени, в которую необходимо возвести основание 3, чтобы получить число $ \frac{1}{9} $.
Представим число $ \frac{1}{9} $ в виде степени с основанием 3. Поскольку $ 9 = 3^2 $, то, используя свойство степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем $ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $.
Таким образом, исходное выражение можно переписать как $ \log_3 (3^{-2}) $.
По определению логарифма, $ \log_a (a^x) = x $, следовательно, $ \log_3 (3^{-2}) = -2 $.
Ответ: -2

2) Для вычисления $ \log_3 \frac{1}{3} $ найдем показатель степени, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить $ \frac{1}{3} $.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, имеем $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $.
Значит, $ \log_3 \frac{1}{3} = \log_3 (3^{-1}) $.
По определению логарифма, $ \log_3 (3^{-1}) = -1 $.
Ответ: -1

3) Для вычисления $ \log_3 \sqrt[4]{3} $ найдем показатель степени, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить $ \sqrt[4]{3} $.
Представим корень в виде степени с рациональным показателем, используя свойство $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $.
Получаем $ \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}} $.
Следовательно, $ \log_3 \sqrt[4]{3} = \log_3 (3^{\frac{1}{4}}) $.
По определению логарифма, $ \log_3 (3^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $

4) Для вычисления $ \log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{9}} $ найдем показатель степени, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить $ \frac{1}{\sqrt[4]{9}} $.
Сначала преобразуем выражение под знаком логарифма. Представим 9 как степень 3: $ 9 = 3^2 $.
Тогда $ \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} $. Используя свойство корня $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $, получаем $ \sqrt[4]{3^2} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} $.
Теперь исходное выражение можно записать как $ \log_3 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} $.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, получаем $ \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = 3^{-\frac{1}{2}} $.
Таким образом, $ \log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{9}} = \log_3 (3^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $

758. 1) $log_{1/2} \frac{1}{32}$;

2) $log_{1/2} 4$;

3) $log_{0,5} 0,125$;

4) $log_{0,5} \frac{1}{2}$;

5) $log_{0,5} 1$;

6) $log_{1/2} \sqrt[3]{2}$.

1) Чтобы найти значение $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}$, нам нужно найти степень $x$, в которую нужно возвести основание $\frac{1}{2}$, чтобы получить число $\frac{1}{32}$. Запишем это в виде уравнения: $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{32}$.

Представим основание и число как степени двойки. Основание $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Число $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$(2^{-1})^x = 2^{-5}$

$2^{-x} = 2^{-5}$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$-x = -5$

$x = 5$

Следовательно, $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = 5$.

Ответ: $5$

2) Найдем значение $\log_{\frac{1}{2}} 4$. Пусть $\log_{\frac{1}{2}} 4 = x$. По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $(\frac{1}{2})^x = 4$.

Представим обе части уравнения как степени числа 2.

Основание: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Число: $4 = 2^2$.

Подставим в уравнение: $(2^{-1})^x = 2^2$.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2^{-x} = 2^2$.

Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

$-x = 2$

$x = -2$

Таким образом, $\log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$.

Ответ: $-2$

3) Для вычисления $\log_{0,5} 0,125$, сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.

Основание логарифма: $0,5 = \frac{1}{2}$.

Число под логарифмом: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Таким образом, выражение принимает вид $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}$.

Пусть $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} = x$. Это означает, что $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{8}$.

Представим $\frac{1}{8}$ как степень основания $\frac{1}{2}$. Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$.

Теперь уравнение выглядит так: $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^3$.

Отсюда следует, что $x=3$.

Ответ: $3$

4) Необходимо вычислить $\log_{0,5} \frac{1}{2}$.

Преобразуем основание логарифма $0,5$ в обыкновенную дробь: $0,5 = \frac{1}{2}$.

Теперь выражение выглядит так: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$.

Используя свойство логарифма $\log_a a = 1$, где основание равно числу под логарифмом, получаем:

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$

5) Требуется найти значение $\log_{0,5} 1$.

Согласно основному свойству логарифмов, логарифм единицы по любому допустимому основанию (положительному и не равному 1) равен нулю. Это свойство записывается как $\log_a 1 = 0$, потому что $a^0 = 1$.

В данном случае основание $a=0,5$, что является допустимым основанием.

Следовательно, $\log_{0,5} 1 = 0$.

Ответ: $0$

6) Вычислим значение $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2}$.

Пусть $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{2})^x = \sqrt[3]{2}$.

Для решения этого уравнения представим обе его части в виде степеней с основанием 2.

Основание логарифма: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Число под логарифмом: $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(2^{-1})^x = 2^{\frac{1}{3}}$

Используя свойство степеней, получаем:

$2^{-x} = 2^{\frac{1}{3}}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-x = \frac{1}{3}$

$x = -\frac{1}{3}$

Следовательно, $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$

759. 1) $log_5 625;$

2) $log_6 216;$

3) $log_4 \frac{1}{16};$

4) $log_5 \frac{1}{125}.$

1) Чтобы найти значение выражения $\log_5 625$, нужно определить, в какую степень следует возвести основание логарифма (число 5), чтобы получить число под знаком логарифма (625).

Обозначим искомое значение как $x$: $\log_5 625 = x$.

По определению логарифма, это эквивалентно уравнению: $5^x = 625$.

Представим число 625 как степень числа 5:
$5^1 = 5$
$5^2 = 25$
$5^3 = 125$
$5^4 = 625$

Таким образом, $5^x = 5^4$, откуда следует, что $x=4$.

Другой способ решения — использование свойства логарифма $\log_a (a^p) = p$:
$\log_5 625 = \log_5 (5^4) = 4$.

Ответ: 4

2) Чтобы найти значение выражения $\log_6 216$, нужно определить, в какую степень следует возвести основание 6, чтобы получить 216.

Пусть $\log_6 216 = x$.

Тогда по определению логарифма: $6^x = 216$.

Вычислим степени числа 6:
$6^1 = 6$
$6^2 = 36$
$6^3 = 216$

Следовательно, $6^x = 6^3$, и $x=3$.

Используя свойство $\log_a (a^p) = p$:
$\log_6 216 = \log_6 (6^3) = 3$.

Ответ: 3

3) Для вычисления $\log_4 \frac{1}{16}$ найдем степень, в которую нужно возвести 4, чтобы получить $\frac{1}{16}$.

Пусть $\log_4 \frac{1}{16} = x$.

По определению логарифма: $4^x = \frac{1}{16}$.

Мы знаем, что $16 = 4^2$. Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем переписать правую часть уравнения:
$\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$.

Теперь уравнение выглядит так: $4^x = 4^{-2}$.

Отсюда следует, что $x=-2$.

Также можно использовать свойства логарифмов $\log_a \frac{1}{b} = -\log_a b$ и $\log_a (a^p) = p$:
$\log_4 \frac{1}{16} = \log_4 (16^{-1}) = -\log_4 16 = -\log_4 (4^2) = -2$.

Ответ: -2

4) Для вычисления $\log_5 \frac{1}{125}$ найдем степень, в которую нужно возвести 5, чтобы получить $\frac{1}{125}$.

Пусть $\log_5 \frac{1}{125} = x$.

Это означает, что $5^x = \frac{1}{125}$.

Мы знаем, что $125 = 5^3$. Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$.

Подставим это в уравнение: $5^x = 5^{-3}$.

Отсюда $x=-3$.

Используя свойства логарифмов:
$\log_5 \frac{1}{125} = \log_5 (125^{-1}) = -\log_5 125 = -\log_5 (5^3) = -3$.

Ответ: -3

760. 1) $\log_{\frac{1}{5}} 125$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} 27$;

3) $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64}$;

4) $\log_{\frac{1}{6}} 36$.

1) Чтобы найти значение выражения $ \log_{\frac{1}{5}} 125 $, воспользуемся определением логарифма: $ \log_b a = c $ эквивалентно $ b^c = a $.
Обозначим искомое значение как $x$:
$ \log_{\frac{1}{5}} 125 = x $
Тогда, по определению логарифма, мы можем записать:
$ \left(\frac{1}{5}\right)^x = 125 $
Для решения этого уравнения представим обе его части в виде степеней с одинаковым основанием 5.
Мы знаем, что $ \frac{1}{5} = 5^{-1} $ и $ 125 = 5^3 $.
Подставим эти значения в уравнение:
$ (5^{-1})^x = 5^3 $
Используя свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $, получаем:
$ 5^{-x} = 5^3 $
Так как основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:
$ -x = 3 $
$ x = -3 $
Ответ: -3

2) Для вычисления $ \log_{\frac{1}{3}} 27 $ обозначим искомое значение как $x$.
$ \log_{\frac{1}{3}} 27 = x $
По определению логарифма, это равенство означает:
$ \left(\frac{1}{3}\right)^x = 27 $
Приведем обе части уравнения к основанию 3.
Известно, что $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $ и $ 27 = 3^3 $.
Подставим эти выражения в уравнение:
$ (3^{-1})^x = 3^3 $
$ 3^{-x} = 3^3 $
Приравниваем показатели степеней, поскольку основания одинаковы:
$ -x = 3 $
$ x = -3 $
Ответ: -3

3) Для вычисления $ \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} $ обозначим искомое значение как $x$.
$ \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} = x $
Согласно определению логарифма:
$ \left(\frac{1}{4}\right)^x = \frac{1}{64} $
В этом случае удобно представить правую часть уравнения как степень с основанием $ \frac{1}{4} $.
Мы знаем, что $ 64 = 4^3 $. Следовательно, $ \frac{1}{64} = \frac{1}{4^3} = \left(\frac{1}{4}\right)^3 $.
Теперь уравнение выглядит так:
$ \left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^3 $
Поскольку основания в обеих частях уравнения равны, их показатели также должны быть равны:
$ x = 3 $
Ответ: 3

4) Для вычисления $ \log_{\frac{1}{6}} 36 $ обозначим искомое значение как $x$.
$ \log_{\frac{1}{6}} 36 = x $
По определению логарифма:
$ \left(\frac{1}{6}\right)^x = 36 $
Приведем обе части уравнения к основанию 6.
Мы знаем, что $ \frac{1}{6} = 6^{-1} $ и $ 36 = 6^2 $.
Подставим эти значения в наше уравнение:
$ (6^{-1})^x = 6^2 $
$ 6^{-x} = 6^2 $
Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$ -x = 2 $
$ x = -2 $
Ответ: -2

761. 1) $3^{\log_3 18}$;

2) $5^{\log_5 16}$;

3) $10^{\log_{10} 2}$;

4) $(\frac{1}{4})^{\log_{\frac{1}{4}} 2}$.

1) Для вычисления значения выражения $3^{\log_3 18}$ воспользуемся основным логарифмическим тождеством, которое гласит: $a^{\log_a b} = b$. В данном случае основание степени $a=3$ совпадает с основанием логарифма, а число под знаком логарифма $b=18$.

Применяя это тождество, получаем:

$3^{\log_3 18} = 18$.

Ответ: 18

2) Выражение $5^{\log_5 16}$ также вычисляется с помощью основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$. Здесь основание степени $a=5$, основание логарифма также равно 5, а число под логарифмом $b=16$.

Подставляя значения в формулу, получаем:

$5^{\log_5 16} = 16$.

Ответ: 16

3) Для выражения $10^{\log_{10} 2}$ снова используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В этом примере основание степени и логарифма $a=10$, а число под знаком логарифма $b=2$.

Следовательно:

$10^{\log_{10} 2} = 2$.

Ответ: 2

4) В выражении $(\frac{1}{4})^{\log_{\frac{1}{4}} 2}$ мы снова обращаемся к основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$. В данном случае основание степени и логарифма $a = \frac{1}{4}$, а число под логарифмом $b = 2$.

Применяя тождество, находим результат:

$(\frac{1}{4})^{\log_{\frac{1}{4}} 2} = 2$.

Ответ: 2

762. 1) $3^{5\log_3 2}$;
2) $(\frac{1}{2})^{6\log_{\frac{1}{2}} 2}$;
3) $0,3^{2\log_{0,3} 6}$;
4) $7^{\frac{1}{2}\log_7 9}$.

1) Для решения выражения $3^{5\log_3 2}$ воспользуемся свойством логарифма $c \cdot \log_b a = \log_b(a^c)$. Это свойство позволяет нам "внести" множитель перед логарифмом в показатель степени числа под логарифмом.

Применим это свойство к показателю степени:

$5\log_3 2 = \log_3(2^5) = \log_3 32$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$3^{5\log_3 2} = 3^{\log_3 32}$.

Далее используем основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$. В нашем случае основание степени $b=3$ и основание логарифма в показателе также равно 3.

$3^{\log_3 32} = 32$.

Ответ: 32

2) Решим выражение $(\frac{1}{2})^{6\log_{1/2} 2}$. Сначала преобразуем показатель степени, используя то же свойство логарифма: $c \cdot \log_b a = \log_b(a^c)$.

$6\log_{1/2} 2 = \log_{1/2}(2^6) = \log_{1/2} 64$.

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$(\frac{1}{2})^{6\log_{1/2} 2} = (\frac{1}{2})^{\log_{1/2} 64}$.

Применяем основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$, где основание $b=\frac{1}{2}$:

$(\frac{1}{2})^{\log_{1/2} 64} = 64$.

Ответ: 64

3) Рассмотрим выражение $0.3^{2\log_{0.3} 6}$. Применим свойство $c \cdot \log_b a = \log_b(a^c)$ к показателю степени.

$2\log_{0.3} 6 = \log_{0.3}(6^2) = \log_{0.3} 36$.

Исходное выражение принимает вид:

$0.3^{2\log_{0.3} 6} = 0.3^{\log_{0.3} 36}$.

Используя основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$, где основание $b=0.3$, получаем:

$0.3^{\log_{0.3} 36} = 36$.

Ответ: 36

4) Решим выражение $7^{\frac{1}{2}\log_7 9}$. Преобразуем показатель степени по свойству $c \cdot \log_b a = \log_b(a^c)$.

$\frac{1}{2}\log_7 9 = \log_7(9^{\frac{1}{2}})$.

Так как степенная функция с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня, имеем $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$. Таким образом, показатель равен $\log_7 3$.

Подставляем обратно в исходное выражение:

$7^{\frac{1}{2}\log_7 9} = 7^{\log_7 3}$.

По основному логарифмическому тождеству $b^{\log_b a} = a$, где основание $b=7$, имеем:

$7^{\log_7 3} = 3$.

Ответ: 3

763. 1) $8^{\log_2 5}$;

2) $9^{\log_3 12}$;

3) $16^{\log_4 7}$;

4) $0,125^{\log_{0,5} 1}$.

1) Для решения этого примера воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Чтобы его применить, необходимо, чтобы основание степени и основание логарифма были одинаковыми.
Представим основание степени 8 как степень числа 2, так как основание логарифма равно 2:
$8 = 2^3$
Подставим это в исходное выражение:
$8^{\log_2 5} = (2^3)^{\log_2 5}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(2^3)^{\log_2 5} = 2^{3 \cdot \log_2 5}$
Теперь воспользуемся свойством логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$:
$2^{3 \cdot \log_2 5} = 2^{\log_2 (5^3)}$
Теперь мы можем применить основное логарифмическое тождество:
$2^{\log_2 (5^3)} = 5^3 = 125$
Ответ: 125

2) Аналогично предыдущему примеру, приведем основание степени к основанию логарифма.
Представим 9 как степень числа 3:
$9 = 3^2$
Подставим в выражение:
$9^{\log_3 12} = (3^2)^{\log_3 12} = 3^{2 \cdot \log_3 12}$
Применим свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$:
$3^{2 \cdot \log_3 12} = 3^{\log_3 (12^2)}$
По основному логарифмическому тождеству:
$3^{\log_3 (12^2)} = 12^2 = 144$
Ответ: 144

3) Снова приведем основание степени к основанию логарифма.
Представим 16 как степень числа 4:
$16 = 4^2$
Подставим в выражение:
$16^{\log_4 7} = (4^2)^{\log_4 7} = 4^{2 \cdot \log_4 7}$
Применим свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$:
$4^{2 \cdot \log_4 7} = 4^{\log_4 (7^2)}$
По основному логарифмическому тождеству:
$4^{\log_4 (7^2)} = 7^2 = 49$
Ответ: 49

4) В этом примере можно сначала вычислить значение логарифма в показателе степени.
Логарифм числа 1 по любому допустимому основанию (больше 0 и не равно 1) всегда равен 0. Это следует из определения логарифма: $\log_a 1 = 0$, так как $a^0 = 1$.
В нашем случае основание $a=0,5$, что является допустимым.
$\log_{0,5} 1 = 0$
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$0,125^{\log_{0,5} 1} = 0,125^0$
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
$0,125^0 = 1$
Ответ: 1

764. Решить уравнение:

1) $log_6 x = 3;$

2) $log_5 x = 4;$

3) $log_2 (5 - x) = 3;$

4) $log_3 (x + 2) = 3;$

5) $log_{\frac{1}{6}} (0,5 + x) = -1;$

6) $log_{0,2} (3 - x) = -2.$

1) Дано логарифмическое уравнение $\log_{6} x = 3$.
Для решения используем определение логарифма: $\log_{b} a = c$ равносильно $a = b^c$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
Согласно определению логарифма, преобразуем уравнение: $x = 6^3$.
Вычисляем значение $x$: $x = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Проверяем, соответствует ли найденный корень ОДЗ: $216 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: 216.

2) Дано логарифмическое уравнение $\log_{5} x = 4$.
По определению логарифма: $x = 5^4$.
ОДЗ: $x > 0$.
Вычисляем значение $x$: $x = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.
Проверяем ОДЗ: $625 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: 625.

3) Дано логарифмическое уравнение $\log_{2} (5 - x) = 3$.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля, т.е. $5 - x > 0$, откуда $x < 5$.
По определению логарифма: $5 - x = 2^3$.
Решаем полученное уравнение: $5 - x = 8$.
$-x = 8 - 5$
$-x = 3$
$x = -3$.
Проверяем ОДЗ: $-3 < 5$. Условие выполнено.
Ответ: -3.

4) Дано логарифмическое уравнение $\log_{3} (x + 2) = 3$.
ОДЗ: $x + 2 > 0$, откуда $x > -2$.
По определению логарифма: $x + 2 = 3^3$.
Решаем полученное уравнение: $x + 2 = 27$.
$x = 27 - 2$
$x = 25$.
Проверяем ОДЗ: $25 > -2$. Условие выполнено.
Ответ: 25.

5) Дано логарифмическое уравнение $\log_{\frac{1}{6}} (0,5 + x) = -1$.
ОДЗ: $0,5 + x > 0$, откуда $x > -0,5$.
По определению логарифма: $0,5 + x = (\frac{1}{6})^{-1}$.
Так как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, то $(\frac{1}{6})^{-1} = 6$.
Получаем уравнение: $0,5 + x = 6$.
$x = 6 - 0,5$
$x = 5,5$.
Проверяем ОДЗ: $5,5 > -0,5$. Условие выполнено.
Ответ: 5,5.

6) Дано логарифмическое уравнение $\log_{0,2} (3 - x) = -2$.
ОДЗ: $3 - x > 0$, откуда $x < 3$.
Представим основание логарифма $0,2$ в виде дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Уравнение принимает вид: $\log_{\frac{1}{5}} (3 - x) = -2$.
По определению логарифма: $3 - x = (\frac{1}{5})^{-2}$.
Вычисляем степень: $(\frac{1}{5})^{-2} = 5^2 = 25$.
Получаем уравнение: $3 - x = 25$.
$-x = 25 - 3$
$-x = 22$
$x = -22$.
Проверяем ОДЗ: $-22 < 3$. Условие выполнено.
Ответ: -22.

765. Выяснить, при каких значениях x существует логарифм:

1) $\log_{\frac{1}{2}}(4-x);$

2) $\log_{0.2}(7-x);$

3) $\log_6 \frac{1}{1-2x};$

4) $\log_8 \frac{5}{2x-1};$

5) $\log_{\frac{1}{4}}(-x^2);$

6) $\log_{0.7}(-2x^3).$

Для того чтобы логарифм $\log_a b$ существовал, необходимо выполнение двух условий: основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице ($a > 0, a \neq 1$), а подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля ($b > 0$). Во всех представленных задачах основание является константой, удовлетворяющей своим условиям, поэтому необходимо найти значения $x$, при которых подлогарифмическое выражение будет положительным.

1) $\log_{1/2}(4-x)$
Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:
$4 - x > 0$
$4 > x$
$x < 4$
Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

2) $\log_{0,2}(7-x)$
Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:
$7 - x > 0$
$7 > x$
$x < 7$
Ответ: $x \in (-\infty; 7)$.

3) $\log_6 \frac{1}{1-2x}$
Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:
$\frac{1}{1 - 2x} > 0$
Так как числитель дроби (1) — положительное число, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положительным:
$1 - 2x > 0$
$1 > 2x$
$x < \frac{1}{2}$
Ответ: $x \in (-\infty; 0,5)$.

4) $\log_8 \frac{5}{2x-1}$
Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:
$\frac{5}{2x - 1} > 0$
Так как числитель дроби (5) — положительное число, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положительным:
$2x - 1 > 0$
$2x > 1$
$x > \frac{1}{2}$
Ответ: $x \in (0,5; +\infty)$.

5) $\log_{1/4}(-x^2)$
Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:
$-x^2 > 0$
Выражение $x^2$ является неотрицательным при любых действительных значениях $x$ ($x^2 \geq 0$). Соответственно, выражение $-x^2$ является неположительным ($-x^2 \leq 0$). Таким образом, неравенство $-x^2 > 0$ не имеет решений.
Ответ: решений нет.

6) $\log_{0,7}(-2x^3)$
Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:
$-2x^3 > 0$
Разделим обе части неравенства на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^3 < 0$
Куб числа отрицателен тогда и только тогда, когда само число отрицательно.
$x < 0$
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.