Номер 764, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

764. Решить уравнение:

1) $log_6 x = 3;$

2) $log_5 x = 4;$

3) $log_2 (5 - x) = 3;$

4) $log_3 (x + 2) = 3;$

5) $log_{\frac{1}{6}} (0,5 + x) = -1;$

6) $log_{0,2} (3 - x) = -2.$

1) Дано логарифмическое уравнение $\log_{6} x = 3$.
Для решения используем определение логарифма: $\log_{b} a = c$ равносильно $a = b^c$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
Согласно определению логарифма, преобразуем уравнение: $x = 6^3$.
Вычисляем значение $x$: $x = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Проверяем, соответствует ли найденный корень ОДЗ: $216 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: 216.

2) Дано логарифмическое уравнение $\log_{5} x = 4$.
По определению логарифма: $x = 5^4$.
ОДЗ: $x > 0$.
Вычисляем значение $x$: $x = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.
Проверяем ОДЗ: $625 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: 625.

3) Дано логарифмическое уравнение $\log_{2} (5 - x) = 3$.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть больше нуля, т.е. $5 - x > 0$, откуда $x < 5$.
По определению логарифма: $5 - x = 2^3$.
Решаем полученное уравнение: $5 - x = 8$.
$-x = 8 - 5$
$-x = 3$
$x = -3$.
Проверяем ОДЗ: $-3 < 5$. Условие выполнено.
Ответ: -3.

4) Дано логарифмическое уравнение $\log_{3} (x + 2) = 3$.
ОДЗ: $x + 2 > 0$, откуда $x > -2$.
По определению логарифма: $x + 2 = 3^3$.
Решаем полученное уравнение: $x + 2 = 27$.
$x = 27 - 2$
$x = 25$.
Проверяем ОДЗ: $25 > -2$. Условие выполнено.
Ответ: 25.

5) Дано логарифмическое уравнение $\log_{\frac{1}{6}} (0,5 + x) = -1$.
ОДЗ: $0,5 + x > 0$, откуда $x > -0,5$.
По определению логарифма: $0,5 + x = (\frac{1}{6})^{-1}$.
Так как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, то $(\frac{1}{6})^{-1} = 6$.
Получаем уравнение: $0,5 + x = 6$.
$x = 6 - 0,5$
$x = 5,5$.
Проверяем ОДЗ: $5,5 > -0,5$. Условие выполнено.
Ответ: 5,5.

6) Дано логарифмическое уравнение $\log_{0,2} (3 - x) = -2$.
ОДЗ: $3 - x > 0$, откуда $x < 3$.
Представим основание логарифма $0,2$ в виде дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Уравнение принимает вид: $\log_{\frac{1}{5}} (3 - x) = -2$.
По определению логарифма: $3 - x = (\frac{1}{5})^{-2}$.
Вычисляем степень: $(\frac{1}{5})^{-2} = 5^2 = 25$.
Получаем уравнение: $3 - x = 25$.
$-x = 25 - 3$
$-x = 22$
$x = -22$.
Проверяем ОДЗ: $-22 < 3$. Условие выполнено.
Ответ: -22.