Номер 767, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

767. 1) $9^{2\log_3 5}$;

2) $(\frac{1}{9})^{\frac{1}{2}\log_3 4}$;

3) $(\frac{1}{4})^{-5\log_2 3}$;

4) $27^{-4\log_{\frac{1}{3}} 5}$;

5) $10^{3-\log_{10} 5}$;

6) $(\frac{1}{7})^{1+2\log_{\frac{1}{7}} 3}$.

1) Для вычисления $9^{2\log_3 5}$ преобразуем основание $9$ как $3^2$ и используем свойства степени и логарифма: $9^{2\log_3 5} = (3^2)^{2\log_3 5} = 3^{2 \cdot 2\log_3 5} = 3^{4\log_3 5}$. Далее, по свойству $k\log_a b = \log_a b^k$ внесем множитель $4$ под знак логарифма: $3^{\log_3 5^4}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b}=b$ получаем $5^4$, что равно $625$.
Ответ: 625

2) Для вычисления $(\frac{1}{9})^{\frac{1}{2}\log_3 4}$ представим основание $\frac{1}{9}$ как $3^{-2}$: $(\frac{1}{9})^{\frac{1}{2}\log_3 4} = (3^{-2})^{\frac{1}{2}\log_3 4} = 3^{-2 \cdot \frac{1}{2}\log_3 4} = 3^{-\log_3 4}$. Внесем знак минуса в показатель логарифма, используя свойство $k\log_a b = \log_a b^k$: $3^{\log_3 4^{-1}}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b}=b$ получаем $4^{-1}$, что равно $\frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) В выражении $(\frac{1}{4})^{-5\log_2 3}$ преобразуем основание $\frac{1}{4}$ как $2^{-2}$: $(\frac{1}{4})^{-5\log_2 3} = (2^{-2})^{-5\log_2 3} = 2^{(-2) \cdot (-5)\log_2 3} = 2^{10\log_2 3}$. Внесем множитель $10$ под знак логарифма: $2^{\log_2 3^{10}}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b}=b$ получаем $3^{10}$. Вычисляем: $3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049$.
Ответ: 59049

4) Для вычисления $27^{-4\log_{\frac{1}{3}} 5}$ преобразуем основание степени $27=3^3$ и основание логарифма, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $\log_{\frac{1}{3}} 5 = \log_{3^{-1}} 5 = -\log_3 5$. Подставим преобразования в исходное выражение: $27^{-4\log_{\frac{1}{3}} 5} = (3^3)^{-4(-\log_3 5)} = 3^{3 \cdot 4\log_3 5} = 3^{12\log_3 5}$. Внесем $12$ в показатель логарифма: $3^{\log_3 5^{12}}$. По основному тождеству получаем $5^{12}$, что равно $244140625$.
Ответ: 244140625

5) В выражении $10^{3-\log_{10} 5}$ используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $10^{3-\log_{10} 5} = \frac{10^3}{10^{\log_{10} 5}}$. Знаменатель $10^{\log_{10} 5}$ по основному логарифмическому тождеству равен $5$. Числитель $10^3 = 1000$. Таким образом, результат равен $\frac{1000}{5} = 200$.
Ответ: 200

6) В выражении $(\frac{1}{7})^{1+2\log_{\frac{1}{7}} 3}$ используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $(\frac{1}{7})^{1+2\log_{\frac{1}{7}} 3} = (\frac{1}{7})^1 \cdot (\frac{1}{7})^{2\log_{\frac{1}{7}} 3}$. Второй множитель преобразуем: $(\frac{1}{7})^{2\log_{\frac{1}{7}} 3} = (\frac{1}{7})^{\log_{\frac{1}{7}} 3^2}$. По основному логарифмическому тождеству это равно $3^2=9$. Тогда всё выражение равно $\frac{1}{7} \cdot 9 = \frac{9}{7}$.
Ответ: $\frac{9}{7}$