Номер 762, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

762. 1) $3^{5\log_3 2}$;
2) $(\frac{1}{2})^{6\log_{\frac{1}{2}} 2}$;
3) $0,3^{2\log_{0,3} 6}$;
4) $7^{\frac{1}{2}\log_7 9}$.

1) Для решения выражения $3^{5\log_3 2}$ воспользуемся свойством логарифма $c \cdot \log_b a = \log_b(a^c)$. Это свойство позволяет нам "внести" множитель перед логарифмом в показатель степени числа под логарифмом.

Применим это свойство к показателю степени:

$5\log_3 2 = \log_3(2^5) = \log_3 32$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$3^{5\log_3 2} = 3^{\log_3 32}$.

Далее используем основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$. В нашем случае основание степени $b=3$ и основание логарифма в показателе также равно 3.

$3^{\log_3 32} = 32$.

Ответ: 32

2) Решим выражение $(\frac{1}{2})^{6\log_{1/2} 2}$. Сначала преобразуем показатель степени, используя то же свойство логарифма: $c \cdot \log_b a = \log_b(a^c)$.

$6\log_{1/2} 2 = \log_{1/2}(2^6) = \log_{1/2} 64$.

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$(\frac{1}{2})^{6\log_{1/2} 2} = (\frac{1}{2})^{\log_{1/2} 64}$.

Применяем основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$, где основание $b=\frac{1}{2}$:

$(\frac{1}{2})^{\log_{1/2} 64} = 64$.

Ответ: 64

3) Рассмотрим выражение $0.3^{2\log_{0.3} 6}$. Применим свойство $c \cdot \log_b a = \log_b(a^c)$ к показателю степени.

$2\log_{0.3} 6 = \log_{0.3}(6^2) = \log_{0.3} 36$.

Исходное выражение принимает вид:

$0.3^{2\log_{0.3} 6} = 0.3^{\log_{0.3} 36}$.

Используя основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$, где основание $b=0.3$, получаем:

$0.3^{\log_{0.3} 36} = 36$.

Ответ: 36

4) Решим выражение $7^{\frac{1}{2}\log_7 9}$. Преобразуем показатель степени по свойству $c \cdot \log_b a = \log_b(a^c)$.

$\frac{1}{2}\log_7 9 = \log_7(9^{\frac{1}{2}})$.

Так как степенная функция с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня, имеем $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$. Таким образом, показатель равен $\log_7 3$.

Подставляем обратно в исходное выражение:

$7^{\frac{1}{2}\log_7 9} = 7^{\log_7 3}$.

По основному логарифмическому тождеству $b^{\log_b a} = a$, где основание $b=7$, имеем:

$7^{\log_7 3} = 3$.

Ответ: 3