Номер 760, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

760. 1) $\log_{\frac{1}{5}} 125$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} 27$;

3) $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64}$;

4) $\log_{\frac{1}{6}} 36$.

1) Чтобы найти значение выражения $ \log_{\frac{1}{5}} 125 $, воспользуемся определением логарифма: $ \log_b a = c $ эквивалентно $ b^c = a $.
Обозначим искомое значение как $x$:
$ \log_{\frac{1}{5}} 125 = x $
Тогда, по определению логарифма, мы можем записать:
$ \left(\frac{1}{5}\right)^x = 125 $
Для решения этого уравнения представим обе его части в виде степеней с одинаковым основанием 5.
Мы знаем, что $ \frac{1}{5} = 5^{-1} $ и $ 125 = 5^3 $.
Подставим эти значения в уравнение:
$ (5^{-1})^x = 5^3 $
Используя свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $, получаем:
$ 5^{-x} = 5^3 $
Так как основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:
$ -x = 3 $
$ x = -3 $
Ответ: -3

2) Для вычисления $ \log_{\frac{1}{3}} 27 $ обозначим искомое значение как $x$.
$ \log_{\frac{1}{3}} 27 = x $
По определению логарифма, это равенство означает:
$ \left(\frac{1}{3}\right)^x = 27 $
Приведем обе части уравнения к основанию 3.
Известно, что $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $ и $ 27 = 3^3 $.
Подставим эти выражения в уравнение:
$ (3^{-1})^x = 3^3 $
$ 3^{-x} = 3^3 $
Приравниваем показатели степеней, поскольку основания одинаковы:
$ -x = 3 $
$ x = -3 $
Ответ: -3

3) Для вычисления $ \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} $ обозначим искомое значение как $x$.
$ \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} = x $
Согласно определению логарифма:
$ \left(\frac{1}{4}\right)^x = \frac{1}{64} $
В этом случае удобно представить правую часть уравнения как степень с основанием $ \frac{1}{4} $.
Мы знаем, что $ 64 = 4^3 $. Следовательно, $ \frac{1}{64} = \frac{1}{4^3} = \left(\frac{1}{4}\right)^3 $.
Теперь уравнение выглядит так:
$ \left(\frac{1}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^3 $
Поскольку основания в обеих частях уравнения равны, их показатели также должны быть равны:
$ x = 3 $
Ответ: 3

4) Для вычисления $ \log_{\frac{1}{6}} 36 $ обозначим искомое значение как $x$.
$ \log_{\frac{1}{6}} 36 = x $
По определению логарифма:
$ \left(\frac{1}{6}\right)^x = 36 $
Приведем обе части уравнения к основанию 6.
Мы знаем, что $ \frac{1}{6} = 6^{-1} $ и $ 36 = 6^2 $.
Подставим эти значения в наше уравнение:
$ (6^{-1})^x = 6^2 $
$ 6^{-x} = 6^2 $
Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$ -x = 2 $
$ x = -2 $
Ответ: -2