Номер 763, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

763. 1) $8^{\log_2 5}$;

2) $9^{\log_3 12}$;

3) $16^{\log_4 7}$;

4) $0,125^{\log_{0,5} 1}$.

1) Для решения этого примера воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Чтобы его применить, необходимо, чтобы основание степени и основание логарифма были одинаковыми.
Представим основание степени 8 как степень числа 2, так как основание логарифма равно 2:
$8 = 2^3$
Подставим это в исходное выражение:
$8^{\log_2 5} = (2^3)^{\log_2 5}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(2^3)^{\log_2 5} = 2^{3 \cdot \log_2 5}$
Теперь воспользуемся свойством логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$:
$2^{3 \cdot \log_2 5} = 2^{\log_2 (5^3)}$
Теперь мы можем применить основное логарифмическое тождество:
$2^{\log_2 (5^3)} = 5^3 = 125$
Ответ: 125

2) Аналогично предыдущему примеру, приведем основание степени к основанию логарифма.
Представим 9 как степень числа 3:
$9 = 3^2$
Подставим в выражение:
$9^{\log_3 12} = (3^2)^{\log_3 12} = 3^{2 \cdot \log_3 12}$
Применим свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$:
$3^{2 \cdot \log_3 12} = 3^{\log_3 (12^2)}$
По основному логарифмическому тождеству:
$3^{\log_3 (12^2)} = 12^2 = 144$
Ответ: 144

3) Снова приведем основание степени к основанию логарифма.
Представим 16 как степень числа 4:
$16 = 4^2$
Подставим в выражение:
$16^{\log_4 7} = (4^2)^{\log_4 7} = 4^{2 \cdot \log_4 7}$
Применим свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$:
$4^{2 \cdot \log_4 7} = 4^{\log_4 (7^2)}$
По основному логарифмическому тождеству:
$4^{\log_4 (7^2)} = 7^2 = 49$
Ответ: 49

4) В этом примере можно сначала вычислить значение логарифма в показателе степени.
Логарифм числа 1 по любому допустимому основанию (больше 0 и не равно 1) всегда равен 0. Это следует из определения логарифма: $\log_a 1 = 0$, так как $a^0 = 1$.
В нашем случае основание $a=0,5$, что является допустимым.
$\log_{0,5} 1 = 0$
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$0,125^{\log_{0,5} 1} = 0,125^0$
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
$0,125^0 = 1$
Ответ: 1