Номер 765, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

765. Выяснить, при каких значениях x существует логарифм:

1) $\log_{\frac{1}{2}}(4-x);$

2) $\log_{0.2}(7-x);$

3) $\log_6 \frac{1}{1-2x};$

4) $\log_8 \frac{5}{2x-1};$

5) $\log_{\frac{1}{4}}(-x^2);$

6) $\log_{0.7}(-2x^3).$

Для того чтобы логарифм $\log_a b$ существовал, необходимо выполнение двух условий: основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице ($a > 0, a \neq 1$), а подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля ($b > 0$). Во всех представленных задачах основание является константой, удовлетворяющей своим условиям, поэтому необходимо найти значения $x$, при которых подлогарифмическое выражение будет положительным.

1) $\log_{1/2}(4-x)$
Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:
$4 - x > 0$
$4 > x$
$x < 4$
Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

2) $\log_{0,2}(7-x)$
Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:
$7 - x > 0$
$7 > x$
$x < 7$
Ответ: $x \in (-\infty; 7)$.

3) $\log_6 \frac{1}{1-2x}$
Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:
$\frac{1}{1 - 2x} > 0$
Так как числитель дроби (1) — положительное число, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положительным:
$1 - 2x > 0$
$1 > 2x$
$x < \frac{1}{2}$
Ответ: $x \in (-\infty; 0,5)$.

4) $\log_8 \frac{5}{2x-1}$
Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:
$\frac{5}{2x - 1} > 0$
Так как числитель дроби (5) — положительное число, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положительным:
$2x - 1 > 0$
$2x > 1$
$x > \frac{1}{2}$
Ответ: $x \in (0,5; +\infty)$.

5) $\log_{1/4}(-x^2)$
Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:
$-x^2 > 0$
Выражение $x^2$ является неотрицательным при любых действительных значениях $x$ ($x^2 \geq 0$). Соответственно, выражение $-x^2$ является неположительным ($-x^2 \leq 0$). Таким образом, неравенство $-x^2 > 0$ не имеет решений.
Ответ: решений нет.

6) $\log_{0,7}(-2x^3)$
Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:
$-2x^3 > 0$
Разделим обе части неравенства на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x^3 < 0$
Куб числа отрицателен тогда и только тогда, когда само число отрицательно.
$x < 0$
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.