Номер 770, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

770. 1) $\log_3 (1 - x^3)$;

2) $\log_2 (x^3 + 8)$;

3) $\log_{\frac{1}{4}} (x^3 + x^2 - 6x)$;

4) $\log_{\frac{1}{3}} (x^3 + x^2 - 2x)$.

1)

Область определения логарифмической функции $\log_a(f(x))$ задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$.

Для функции $\log_3(1 - x^3)$ необходимо решить неравенство:

$1 - x^3 > 0$

Перенесем $x^3$ в правую часть неравенства, изменив его знак:

$1 > x^3$

Это эквивалентно неравенству:

$x^3 < 1$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем (знак неравенства сохраняется, так как функция $y=\sqrt[3]{t}$ является монотонно возрастающей):

$x < 1$

Таким образом, область определения функции — это интервал от минус бесконечности до 1, не включая 1.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$

2)

Для функции $\log_2(x^3 + 8)$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^3 + 8 > 0$

Перенесем 8 в правую часть:

$x^3 > -8$

Извлечем кубический корень из обеих частей неравенства:

$x > \sqrt[3]{-8}$

$x > -2$

Следовательно, область определения — это все числа, которые больше -2.

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$

3)

Для функции $\log_{\frac{1}{4}}(x^3 + x^2 - 6x)$ найдем область определения, решив неравенство:

$x^3 + x^2 - 6x > 0$

Разложим многочлен в левой части на множители. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + x - 6) > 0$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 6$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -6. Корнями являются числа 2 и -3. Тогда:

$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$

Неравенство принимает вид:

$x(x+3)(x-2) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни выражения в левой части: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$. Нанесем эти точки на числовую ось, они разделят ее на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом интервале:

• Интервал $(2; +\infty)$: возьмем $x=3$. $3(3+3)(3-2) = 18 > 0$. Знак «+».
• Интервал $(0; 2)$: возьмем $x=1$. $1(1+3)(1-2) = -4 < 0$. Знак «-».
• Интервал $(-3; 0)$: возьмем $x=-1$. $-1(-1+3)(-1-2) = 6 > 0$. Знак «+».
• Интервал $(-\infty; -3)$: возьмем $x=-4$. $-4(-4+3)(-4-2) = -24 < 0$. Знак «-».

Мы ищем значения $x$, при которых выражение положительно. Это соответствует интервалам со знаком «+».

Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (2; +\infty)$

4)

Для функции $\log_{\frac{1}{3}}(x^3 + x^2 - 2x)$ решим неравенство:

$x^3 + x^2 - 2x > 0$

Разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(x^2 + x - 2) > 0$

Разложим квадратный трехчлен $x^2 + x - 2$ на множители. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -2. Корнями являются числа 1 и -2. Тогда:

$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$

Неравенство принимает вид:

$x(x+2)(x-1) > 0$

Решим методом интервалов. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Нанесем точки на числовую ось. Определим знак выражения на полученных интервалах:

• Интервал $(1; +\infty)$: возьмем $x=2$. $2(2+2)(2-1) = 8 > 0$. Знак «+».
• Интервал $(0; 1)$: возьмем $x=0.5$. $0.5(0.5+2)(0.5-1) < 0$. Знак «-».
• Интервал $(-2; 0)$: возьмем $x=-1$. $-1(-1+2)(-1-1) = 2 > 0$. Знак «+».
• Интервал $(-\infty; -2)$: возьмем $x=-3$. $-3(-3+2)(-3-1) < 0$. Знак «-».

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»).

Ответ: $x \in (-2; 0) \cup (1; +\infty)$