Номер 775, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

775. При каких значениях $x$ имеет смысл выражение:

1) $\log_x (2x - 1)$;

2) $\log_{x - 1} (x + 1)$?

1)

Для того чтобы выражение $\log_x(2x - 1)$ имело смысл, должны выполняться три условия, определяющие область определения логарифмической функции:

1. Основание логарифма должно быть положительным: $x > 0$.
2. Основание логарифма не должно равняться единице: $x \neq 1$.
3. Аргумент логарифма (выражение под знаком логарифма) должен быть положительным: $2x - 1 > 0$.

Эти условия должны выполняться одновременно, поэтому запишем их в виде системы неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} $

Решим третье неравенство:

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$ или $x > 0.5$

Теперь найдем общее решение системы, то есть пересечение множеств, задаваемых условиями:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x > 0.5 \end{cases} $

Пересечением условий $x > 0$ и $x > 0.5$ является более сильное неравенство $x > 0.5$. С учетом дополнительного условия $x \neq 1$, получаем, что $x$ может принимать любые значения больше $0.5$, кроме $1$.

Это множество можно записать в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $x \in (0.5; 1) \cup (1; +\infty)$.

2)

Для того чтобы выражение $\log_{x-1}(x + 1)$ имело смысл, должны выполняться те же три условия для основания и аргумента логарифма:

1. Основание логарифма должно быть положительным: $x - 1 > 0$.
2. Основание логарифма не должно равняться единице: $x - 1 \neq 1$.
3. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x + 1 > 0$.

Запишем эти условия в виде системы:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \\ x + 1 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство и условие в системе:

Из первого неравенства: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.

Из второго условия: $x - 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$.

Из третьего неравенства: $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$.

Теперь найдем пересечение полученных решений. Условие $x > 1$ является более строгим, чем $x > -1$, поэтому оно включает в себя третье условие. Таким образом, нам нужно удовлетворить двум условиям одновременно: $x > 1$ и $x \neq 2$.

Это означает, что $x$ может быть любым числом, большим $1$, но не равным $2$.

Это множество также записывается в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)$.