Номер 779, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

779. 1) $\log_{13} \sqrt[5]{169}$;

2) $\log_{11} \sqrt[3]{121}$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{243}$;

4) $\log_2 \frac{1}{\sqrt[6]{128}}$.

1) Для решения выражения $\log_{13} \sqrt[5]{169}$ необходимо привести аргумент логарифма к степени с основанием 13.
Мы знаем, что $169$ это квадрат числа $13$, то есть $169 = 13^2$.
Корень пятой степени из числа можно представить как это число в степени $\frac{1}{5}$.
Следовательно, $\sqrt[5]{169} = \sqrt[5]{13^2} = (13^2)^{\frac{1}{5}} = 13^{2 \cdot \frac{1}{5}} = 13^{\frac{2}{5}}$.
Теперь подставим это в наш логарифм:
$\log_{13} \sqrt[5]{169} = \log_{13} (13^{\frac{2}{5}})$.
Используя свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем:
$\log_{13} (13^{\frac{2}{5}}) = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

2) Для решения выражения $\log_{11} \sqrt[3]{121}$ необходимо привести аргумент логарифма к степени с основанием 11.
Известно, что $121 = 11^2$.
Кубический корень можно представить в виде степени $\frac{1}{3}$.
Таким образом, $\sqrt[3]{121} = \sqrt[3]{11^2} = (11^2)^{\frac{1}{3}} = 11^{2 \cdot \frac{1}{3}} = 11^{\frac{2}{3}}$.
Подставляем полученное выражение обратно в логарифм:
$\log_{11} \sqrt[3]{121} = \log_{11} (11^{\frac{2}{3}})$.
Применяем свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$:
$\log_{11} (11^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

3) Для вычисления $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{243}$ приведем основание и аргумент логарифма к степеням одного числа, например, 3.
Основание логарифма: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.
Для аргумента: $243 = 3^5$. Тогда корень четвертой степени $\sqrt[4]{243} = \sqrt[4]{3^5} = 3^{\frac{5}{4}}$.
Теперь исходное выражение можно переписать так:
$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{243} = \log_{3^{-1}} (3^{\frac{5}{4}})$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k}(b^m) = \frac{m}{k} \log_a b$. В нашем случае $a=3, b=3$, поэтому $\log_a b = \log_3 3 = 1$.
Получаем: $\log_{3^{-1}} (3^{\frac{5}{4}}) = \frac{5/4}{-1} \log_3 3 = -\frac{5}{4} \cdot 1 = -\frac{5}{4}$.
Ответ: $-\frac{5}{4}$.

4) Для нахождения значения $\log_2 \frac{1}{\sqrt[6]{128}}$ представим аргумент логарифма как степень с основанием 2.
Число 128 является седьмой степенью числа 2: $128 = 2^7$.
Тогда корень шестой степени $\sqrt[6]{128} = \sqrt[6]{2^7} = 2^{\frac{7}{6}}$.
Теперь преобразуем всю дробь, используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$\frac{1}{\sqrt[6]{128}} = \frac{1}{2^{\frac{7}{6}}} = 2^{-\frac{7}{6}}$.
Подставляем это в логарифм:
$\log_2 \frac{1}{\sqrt[6]{128}} = \log_2 (2^{-\frac{7}{6}})$.
Применяем свойство $\log_a(a^x) = x$:
$\log_2 (2^{-\frac{7}{6}}) = -\frac{7}{6}$.
Ответ: $-\frac{7}{6}$.