Номер 781, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

781. Прологарифмировать по основанию 3 выражение, в котором $a > 0$ и $b > 0$:

1) $27\sqrt{a^2b}$

2) $\frac{\sqrt[3]{a}}{9b^2}$

3) $\frac{81\sqrt{a^3}}{\sqrt[3]{b^2}}$

4) $\frac{\sqrt[4]{ab^2}}{\sqrt[3]{a^5b}}$

1) Чтобы прологарифмировать выражение $27\sqrt{a^2b}$ по основанию 3, применим основные свойства логарифмов: логарифм произведения равен сумме логарифмов $\log_c(xy) = \log_c(x) + \log_c(y)$, а логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания $\log_c(x^k) = k \log_c(x)$.

$\log_3(27\sqrt{a^2b}) = \log_3(27) + \log_3(\sqrt{a^2b})$.

Вычислим каждое слагаемое отдельно. Так как $27 = 3^3$, то $\log_3(27) = 3$.

Представим корень в виде степени и применим свойства логарифма:

$\log_3(\sqrt{a^2b}) = \log_3((a^2b)^{1/2}) = \frac{1}{2}\log_3(a^2b) = \frac{1}{2}(\log_3(a^2) + \log_3(b))$.

Поскольку $a > 0$, то $\log_3(a^2) = 2\log_3(a)$.

Тогда $\frac{1}{2}(2\log_3(a) + \log_3(b)) = \log_3(a) + \frac{1}{2}\log_3(b)$.

Собрав все вместе, получаем: $3 + \log_3(a) + \frac{1}{2}\log_3(b)$.

Ответ: $3 + \log_3(a) + \frac{1}{2}\log_3(b)$.

2) Для логарифмирования выражения $\frac{\sqrt[3]{a}}{9b^2}$ по основанию 3, используем свойство логарифма частного $\log_c(\frac{x}{y}) = \log_c(x) - \log_c(y)$.

$\log_3\left(\frac{\sqrt[3]{a}}{9b^2}\right) = \log_3(\sqrt[3]{a}) - \log_3(9b^2)$.

Преобразуем каждый член по отдельности.

$\log_3(\sqrt[3]{a}) = \log_3(a^{1/3}) = \frac{1}{3}\log_3(a)$.

$\log_3(9b^2) = \log_3(9) + \log_3(b^2) = 2 + 2\log_3(b)$, так как $9 = 3^2$.

Подставив полученные выражения в исходную формулу, получаем:

$\frac{1}{3}\log_3(a) - (2 + 2\log_3(b)) = \frac{1}{3}\log_3(a) - 2 - 2\log_3(b)$.

Ответ: $\frac{1}{3}\log_3(a) - 2 - 2\log_3(b)$.

3) Прологарифмируем выражение $\frac{81\sqrt{a^3}}{\sqrt[3]{b^2}}$ по основанию 3.

Применяем свойство логарифма частного:

$\log_3\left(\frac{81\sqrt{a^3}}{\sqrt[3]{b^2}}\right) = \log_3(81\sqrt{a^3}) - \log_3(\sqrt[3]{b^2})$.

Разложим первое слагаемое, используя свойство логарифма произведения:

$\log_3(81\sqrt{a^3}) = \log_3(81) + \log_3(\sqrt{a^3})$.

Так как $81 = 3^4$, то $\log_3(81) = 4$.

$\log_3(\sqrt{a^3}) = \log_3(a^{3/2}) = \frac{3}{2}\log_3(a)$.

Следовательно, первое слагаемое равно $4 + \frac{3}{2}\log_3(a)$.

Теперь преобразуем вычитаемое:

$\log_3(\sqrt[3]{b^2}) = \log_3(b^{2/3}) = \frac{2}{3}\log_3(b)$.

Объединим результаты:

$4 + \frac{3}{2}\log_3(a) - \frac{2}{3}\log_3(b)$.

Ответ: $4 + \frac{3}{2}\log_3(a) - \frac{2}{3}\log_3(b)$.

4) Прологарифмируем выражение $\frac{\sqrt[4]{ab^2}}{\sqrt[3]{a^5b}}$ по основанию 3.

Сначала применяем свойство логарифма частного:

$\log_3\left(\frac{\sqrt[4]{ab^2}}{\sqrt[3]{a^5b}}\right) = \log_3(\sqrt[4]{ab^2}) - \log_3(\sqrt[3]{a^5b})$.

Преобразуем логарифм числителя:

$\log_3(\sqrt[4]{ab^2}) = \log_3((ab^2)^{1/4}) = \frac{1}{4}\log_3(ab^2) = \frac{1}{4}(\log_3(a) + \log_3(b^2)) = \frac{1}{4}(\log_3(a) + 2\log_3(b)) = \frac{1}{4}\log_3(a) + \frac{1}{2}\log_3(b)$.

Преобразуем логарифм знаменателя:

$\log_3(\sqrt[3]{a^5b}) = \log_3((a^5b)^{1/3}) = \frac{1}{3}\log_3(a^5b) = \frac{1}{3}(\log_3(a^5) + \log_3(b)) = \frac{1}{3}(5\log_3(a) + \log_3(b)) = \frac{5}{3}\log_3(a) + \frac{1}{3}\log_3(b)$.

Теперь вычтем из логарифма числителя логарифм знаменателя:

$\left(\frac{1}{4}\log_3(a) + \frac{1}{2}\log_3(b)\right) - \left(\frac{5}{3}\log_3(a) + \frac{1}{3}\log_3(b)\right) = \frac{1}{4}\log_3(a) + \frac{1}{2}\log_3(b) - \frac{5}{3}\log_3(a) - \frac{1}{3}\log_3(b)$.

Сгруппируем слагаемые с $\log_3(a)$ и $\log_3(b)$:

$\left(\frac{1}{4} - \frac{5}{3}\right)\log_3(a) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)\log_3(b)$.

Вычислим коэффициенты:

$\frac{1}{4} - \frac{5}{3} = \frac{3-20}{12} = -\frac{17}{12}$.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$.

Подставим коэффициенты в выражение:

$-\frac{17}{12}\log_3(a) + \frac{1}{6}\log_3(b)$.

Ответ: $-\frac{17}{12}\log_3(a) + \frac{1}{6}\log_3(b)$.