Номер 778, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

778. 1) $\log_2 15 - \log_2 \frac{15}{16}$;

2) $\log_5 75 - \log_5 3$;

3) $\log_{\frac{1}{3}} 54 - \log_{\frac{1}{3}} 2$;

4) $\log_8 \frac{1}{16} - \log_8 32$.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $.
Применим это правило к выражению $ \log_2 15 - \log_2 \frac{15}{16} $:
$ \log_2 15 - \log_2 \frac{15}{16} = \log_2 \left(15 : \frac{15}{16}\right) = \log_2 \left(15 \cdot \frac{16}{15}\right) = \log_2 16 $.
Теперь необходимо вычислить $ \log_2 16 $. Логарифм $ \log_a b $ - это степень, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. В нашем случае нужно найти такую степень $x$, что $ 2^x = 16 $.
Поскольку $ 2^4 = 16 $, то $ \log_2 16 = 4 $.
Ответ: 4

2) Аналогично первому примеру, используем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $ для выражения $ \log_5 75 - \log_5 3 $:
$ \log_5 75 - \log_5 3 = \log_5 \left(\frac{75}{3}\right) = \log_5 25 $.
Далее, вычислим $ \log_5 25 $. Найдём степень $x$, для которой выполняется равенство $ 5^x = 25 $.
Так как $ 5^2 = 25 $, то $ \log_5 25 = 2 $.
Ответ: 2

3) Снова применим свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $ к выражению $ \log_{\frac{1}{3}} 54 - \log_{\frac{1}{3}} 2 $:
$ \log_{\frac{1}{3}} 54 - \log_{\frac{1}{3}} 2 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{54}{2}\right) = \log_{\frac{1}{3}} 27 $.
Теперь вычислим $ \log_{\frac{1}{3}} 27 $. Обозначим искомое значение за $x$: $ \log_{\frac{1}{3}} 27 = x $. По определению логарифма, это равносильно уравнению $ \left(\frac{1}{3}\right)^x = 27 $.
Представим обе части уравнения с основанием 3. Мы знаем, что $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $ и $ 27 = 3^3 $.
Подставим эти значения в уравнение: $ (3^{-1})^x = 3^3 $, что можно записать как $ 3^{-x} = 3^3 $.
Приравнивая показатели степени, получаем $ -x = 3 $, откуда $ x = -3 $.
Следовательно, $ \log_{\frac{1}{3}} 27 = -3 $.
Ответ: -3

4) Применим свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $ к выражению $ \log_8 \frac{1}{16} - \log_8 32 $:
$ \log_8 \frac{1}{16} - \log_8 32 = \log_8 \left(\frac{1}{16} : 32\right) = \log_8 \left(\frac{1}{16 \cdot 32}\right) = \log_8 \frac{1}{512} $.
Для вычисления $ \log_8 \frac{1}{512} $ найдём такое число $x$, что $ 8^x = \frac{1}{512} $.
Так как $ 8^3 = 512 $, то $ \frac{1}{512} = \frac{1}{8^3} = 8^{-3} $.
Наше уравнение принимает вид $ 8^x = 8^{-3} $, из чего следует, что $ x = -3 $.
Таким образом, $ \log_8 \frac{1}{512} = -3 $.
Ответ: -3