Номер 774, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

774. 1) $(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 6^x;$

2) $(3 \cdot 5^x + 2.5 \cdot 3^x)(2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x) = 8 \cdot 15^x.$

1) $(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 6^x$

Перепишем правую часть уравнения, используя свойство степеней $a^x b^x = (ab)^x$:
$8 \cdot 6^x = 8 \cdot (2 \cdot 3)^x = 8 \cdot 2^x \cdot 3^x$.
Исходное уравнение принимает вид:
$(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 2^x \cdot 3^x$.
Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $6^x = 2^x \cdot 3^x$. Так как $6^x > 0$ при любом действительном $x$, это преобразование является равносильным.
$\frac{(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x)}{2^x \cdot 3^x} = 8$
Разделим произведение дробей на две дроби:
$\frac{3^x + 2^x}{2^x} \cdot \frac{3^x + 3 \cdot 2^x}{3^x} = 8$
Разделим числитель каждой дроби на ее знаменатель почленно:
$(\frac{3^x}{2^x} + \frac{2^x}{2^x}) \cdot (\frac{3^x}{3^x} + \frac{3 \cdot 2^x}{3^x}) = 8$
$((\frac{3}{2})^x + 1) \cdot (1 + 3(\frac{2}{3})^x) = 8$

Введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{3}{2})^x$. Поскольку основание $\frac{3}{2} > 0$ и не равно 1, то $t > 0$.
Тогда $(\frac{2}{3})^x = ((\frac{3}{2})^{-1})^x = ((\frac{3}{2})^x)^{-1} = t^{-1} = \frac{1}{t}$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$(t + 1)(1 + \frac{3}{t}) = 8$
Приведем второй множитель к общему знаменателю:
$(t + 1)(\frac{t+3}{t}) = 8$
Так как $t>0$, умножим обе части на $t$:
$(t+1)(t+3) = 8t$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$t^2 + 3t + t + 3 = 8t$
$t^2 + 4t + 3 = 8t$
$t^2 - 4t + 3 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:
$t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Оба корня положительны, поэтому оба удовлетворяют условию $t>0$.
Выполним обратную замену:
1. Для $t_1 = 1$:
$(\frac{3}{2})^x = 1 \implies (\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^0 \implies x_1 = 0$.
2. Для $t_2 = 3$:
$(\frac{3}{2})^x = 3$. По определению логарифма, $x_2 = \log_{\frac{3}{2}}(3)$.

Ответ: $x=0, x=\log_{\frac{3}{2}}(3)$.

2) $(3 \cdot 5^x + 2,5 \cdot 3^x)(2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x) = 8 \cdot 15^x$

Представим $2,5$ как $\frac{5}{2}$ и $15^x$ как $3^x \cdot 5^x$.
$(3 \cdot 5^x + \frac{5}{2} \cdot 3^x)(2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x) = 8 \cdot 3^x \cdot 5^x$.
Как и в предыдущем задании, разделим обе части на $15^x = 3^x \cdot 5^x > 0$.
$\frac{(3 \cdot 5^x + \frac{5}{2} \cdot 3^x)(2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x)}{3^x \cdot 5^x} = 8$
$\frac{3 \cdot 5^x + \frac{5}{2} \cdot 3^x}{3^x} \cdot \frac{2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x}{5^x} = 8$
$(3\frac{5^x}{3^x} + \frac{5}{2}\frac{3^x}{3^x}) \cdot (2\frac{3^x}{5^x} - 2\frac{5^x}{5^x}) = 8$
$(3(\frac{5}{3})^x + \frac{5}{2}) \cdot (2(\frac{3}{5})^x - 2) = 8$

Введем замену: пусть $t = (\frac{5}{3})^x$. Тогда $t > 0$ и $(\frac{3}{5})^x = \frac{1}{t}$.
Уравнение примет вид:
$(3t + \frac{5}{2})(\frac{2}{t} - 2) = 8$
Преобразуем выражения в скобках:
$(\frac{6t+5}{2}) \cdot (\frac{2-2t}{t}) = 8$
$(\frac{6t+5}{2}) \cdot \frac{2(1-t)}{t} = 8$
Сократим на 2:
$\frac{(6t+5)(1-t)}{t} = 8$
Умножим обе части на $t$ ($t \neq 0$):
$(6t+5)(1-t) = 8t$
$6t - 6t^2 + 5 - 5t = 8t$
$-6t^2 + t + 5 = 8t$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $t^2$ был положительным:
$6t^2 + 7t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
Найдем корни:
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 13}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm 13}{12}$.
$t_1 = \frac{-7+13}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-7-13}{12} = \frac{-20}{12} = -\frac{5}{3}$.

Согласно условию замены, $t > 0$, поэтому корень $t_2 = -\frac{5}{3}$ является посторонним.
Остается единственное решение $t = \frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену:
$(\frac{5}{3})^x = \frac{1}{2}$.
По определению логарифма, $x = \log_{\frac{5}{3}}(\frac{1}{2})$.

Ответ: $x = \log_{\frac{5}{3}}(\frac{1}{2})$.