Страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (766–768).

766.

1) $log_2 \sqrt[4]{2}$; 2) $log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}}$; 3) $log_{0,5} \frac{1}{\sqrt{32}}$; 4) $log_7 \frac{\sqrt[3]{7}}{49}$;

5) $log_{128} 64$; 6) $log_{27} 243$; 7) $log_{64} 256$; 8) $log_{81} 27$;

9) $log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3\sqrt[4]{3}}$; 10) $log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4\sqrt[3]{2}}$.

1) Чтобы вычислить $ \log_2 \sqrt[4]{2} $, представим аргумент логарифма, $ \sqrt[4]{2} $, в виде степени с основанием 2.
Используя свойство корня $ \sqrt[n]{a} = a^{1/n} $, получаем: $ \sqrt[4]{2} = 2^{1/4} $.
Подставим это в исходное выражение: $ \log_2 2^{1/4} $.
По определению логарифма (или по свойству $ \log_a a^x = x $), значение этого выражения равно показателю степени.
$ \log_2 2^{1/4} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

2) Для вычисления $ \log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}} $, представим аргумент логарифма как степень с основанием 3.
Сначала преобразуем знаменатель: $ 3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + 1/2} = 3^{3/2} $.
Теперь преобразуем всю дробь: $ \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{3/2}} = 3^{-3/2} $.
Подставляем в логарифм: $ \log_3 3^{-3/2} $.
Используя свойство $ \log_a a^x = x $, получаем: $ \log_3 3^{-3/2} = -\frac{3}{2} $.
Ответ: $ -1.5 $ или $ -\frac{3}{2} $.

3) Для вычисления $ \log_{0.5} \frac{1}{\sqrt{32}} $, представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа, например, 2.
Основание: $ 0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} $.
Аргумент: $ \frac{1}{\sqrt{32}} = \frac{1}{\sqrt{2^5}} = \frac{1}{2^{5/2}} = 2^{-5/2} $.
Исходное выражение принимает вид: $ \log_{2^{-1}} 2^{-5/2} $.
Используем свойство логарифма $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:
$ \log_{2^{-1}} 2^{-5/2} = \frac{-5/2}{-1} \log_2 2 = \frac{5}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2} $.
Ответ: $ 2.5 $ или $ \frac{5}{2} $.

4) Чтобы вычислить $ \log_7 \frac{\sqrt[3]{7}}{49} $, представим аргумент логарифма как степень с основанием 7.
Представим числитель и знаменатель дроби в виде степеней 7: $ \sqrt[3]{7} = 7^{1/3} $ и $ 49 = 7^2 $.
Тогда дробь равна: $ \frac{7^{1/3}}{7^2} = 7^{1/3 - 2} = 7^{1/3 - 6/3} = 7^{-5/3} $.
Подставляем в логарифм: $ \log_7 7^{-5/3} $.
По свойству $ \log_a a^x = x $, получаем: $ \log_7 7^{-5/3} = -\frac{5}{3} $.
Ответ: $ -\frac{5}{3} $.

5) Для вычисления $ \log_{128} 64 $, представим основание и аргумент логарифма как степени одного числа. Оба числа являются степенями 2.
Основание: $ 128 = 2^7 $.
Аргумент: $ 64 = 2^6 $.
Выражение принимает вид: $ \log_{2^7} 2^6 $.
Используем свойство $ \log_{a^k} a^m = \frac{m}{k} $:
$ \log_{2^7} 2^6 = \frac{6}{7} $.
Ответ: $ \frac{6}{7} $.

6) Для вычисления $ \log_{27} 243 $, представим основание и аргумент как степени числа 3.
Основание: $ 27 = 3^3 $.
Аргумент: $ 243 = 3^5 $.
Выражение принимает вид: $ \log_{3^3} 3^5 $.
Используем свойство $ \log_{a^k} a^m = \frac{m}{k} $:
$ \log_{3^3} 3^5 = \frac{5}{3} $.
Ответ: $ \frac{5}{3} $.

7) Для вычисления $ \log_{64} 256 $, представим основание и аргумент как степени одного числа, например, 4 (или 2).
Основание: $ 64 = 4^3 $.
Аргумент: $ 256 = 4^4 $.
Выражение принимает вид: $ \log_{4^3} 4^4 $.
Используем свойство $ \log_{a^k} a^m = \frac{m}{k} $:
$ \log_{4^3} 4^4 = \frac{4}{3} $.
(Альтернативно, через степень 2: $ 64=2^6, 256=2^8 $, тогда $ \log_{2^6} 2^8 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $).
Ответ: $ \frac{4}{3} $.

8) Для вычисления $ \log_{81} 27 $, представим основание и аргумент как степени числа 3.
Основание: $ 81 = 3^4 $.
Аргумент: $ 27 = 3^3 $.
Выражение принимает вид: $ \log_{3^4} 3^3 $.
Используем свойство $ \log_{a^k} a^m = \frac{m}{k} $:
$ \log_{3^4} 3^3 = \frac{3}{4} $.
Ответ: $ 0.75 $ или $ \frac{3}{4} $.

9) Для вычисления $ \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3\sqrt[4]{3}} $, представим основание и аргумент как степени числа 3.
Основание: $ \sqrt{3} = 3^{1/2} $.
Аргумент: $ \frac{1}{3\sqrt[4]{3}} = \frac{1}{3^1 \cdot 3^{1/4}} = \frac{1}{3^{1+1/4}} = \frac{1}{3^{5/4}} = 3^{-5/4} $.
Выражение принимает вид: $ \log_{3^{1/2}} 3^{-5/4} $.
Используем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:
$ \log_{3^{1/2}} 3^{-5/4} = \frac{-5/4}{1/2} \log_3 3 = \frac{-5/4}{1/2} = -\frac{5}{4} \cdot 2 = -\frac{5}{2} $.
Ответ: $ -2.5 $ или $ -\frac{5}{2} $.

10) Для вычисления $ \log_{1/2} \frac{1}{4\sqrt[3]{2}} $, представим основание и аргумент как степени числа 2.
Основание: $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $.
Аргумент: $ \frac{1}{4\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{2^2 \cdot 2^{1/3}} = \frac{1}{2^{2+1/3}} = \frac{1}{2^{7/3}} = 2^{-7/3} $.
Выражение принимает вид: $ \log_{2^{-1}} 2^{-7/3} $.
Используем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:
$ \log_{2^{-1}} 2^{-7/3} = \frac{-7/3}{-1} \log_2 2 = \frac{7}{3} \cdot 1 = \frac{7}{3} $.
Ответ: $ \frac{7}{3} $.

767. 1) $9^{2\log_3 5}$;

2) $(\frac{1}{9})^{\frac{1}{2}\log_3 4}$;

3) $(\frac{1}{4})^{-5\log_2 3}$;

4) $27^{-4\log_{\frac{1}{3}} 5}$;

5) $10^{3-\log_{10} 5}$;

6) $(\frac{1}{7})^{1+2\log_{\frac{1}{7}} 3}$.

1) Для вычисления $9^{2\log_3 5}$ преобразуем основание $9$ как $3^2$ и используем свойства степени и логарифма: $9^{2\log_3 5} = (3^2)^{2\log_3 5} = 3^{2 \cdot 2\log_3 5} = 3^{4\log_3 5}$. Далее, по свойству $k\log_a b = \log_a b^k$ внесем множитель $4$ под знак логарифма: $3^{\log_3 5^4}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b}=b$ получаем $5^4$, что равно $625$.
Ответ: 625

2) Для вычисления $(\frac{1}{9})^{\frac{1}{2}\log_3 4}$ представим основание $\frac{1}{9}$ как $3^{-2}$: $(\frac{1}{9})^{\frac{1}{2}\log_3 4} = (3^{-2})^{\frac{1}{2}\log_3 4} = 3^{-2 \cdot \frac{1}{2}\log_3 4} = 3^{-\log_3 4}$. Внесем знак минуса в показатель логарифма, используя свойство $k\log_a b = \log_a b^k$: $3^{\log_3 4^{-1}}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b}=b$ получаем $4^{-1}$, что равно $\frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) В выражении $(\frac{1}{4})^{-5\log_2 3}$ преобразуем основание $\frac{1}{4}$ как $2^{-2}$: $(\frac{1}{4})^{-5\log_2 3} = (2^{-2})^{-5\log_2 3} = 2^{(-2) \cdot (-5)\log_2 3} = 2^{10\log_2 3}$. Внесем множитель $10$ под знак логарифма: $2^{\log_2 3^{10}}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b}=b$ получаем $3^{10}$. Вычисляем: $3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049$.
Ответ: 59049

4) Для вычисления $27^{-4\log_{\frac{1}{3}} 5}$ преобразуем основание степени $27=3^3$ и основание логарифма, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $\log_{\frac{1}{3}} 5 = \log_{3^{-1}} 5 = -\log_3 5$. Подставим преобразования в исходное выражение: $27^{-4\log_{\frac{1}{3}} 5} = (3^3)^{-4(-\log_3 5)} = 3^{3 \cdot 4\log_3 5} = 3^{12\log_3 5}$. Внесем $12$ в показатель логарифма: $3^{\log_3 5^{12}}$. По основному тождеству получаем $5^{12}$, что равно $244140625$.
Ответ: 244140625

5) В выражении $10^{3-\log_{10} 5}$ используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $10^{3-\log_{10} 5} = \frac{10^3}{10^{\log_{10} 5}}$. Знаменатель $10^{\log_{10} 5}$ по основному логарифмическому тождеству равен $5$. Числитель $10^3 = 1000$. Таким образом, результат равен $\frac{1000}{5} = 200$.
Ответ: 200

6) В выражении $(\frac{1}{7})^{1+2\log_{\frac{1}{7}} 3}$ используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $(\frac{1}{7})^{1+2\log_{\frac{1}{7}} 3} = (\frac{1}{7})^1 \cdot (\frac{1}{7})^{2\log_{\frac{1}{7}} 3}$. Второй множитель преобразуем: $(\frac{1}{7})^{2\log_{\frac{1}{7}} 3} = (\frac{1}{7})^{\log_{\frac{1}{7}} 3^2}$. По основному логарифмическому тождеству это равно $3^2=9$. Тогда всё выражение равно $\frac{1}{7} \cdot 9 = \frac{9}{7}$.
Ответ: $\frac{9}{7}$

768. 1) $ \log_2 \log_3 81; $

2) $ \log_3 \log_2 8; $

3) $ 2 \log_{27} \log_{10} 1000; $

4) $ \frac{1}{3} \log_9 \log_2 8; $

5) $ 3 \log_2 \log_4 16 + \log_{\frac{1}{2}} 2; $

6) $ 2 \log_4 \log_{16} 256 + \log_{\sqrt{2}} 8. $

1) Чтобы вычислить значение выражения $ \log_2 \log_3 81 $, мы начнем с вычисления внутреннего логарифма.

Найдем значение $ \log_3 81 $. Это степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить 81. Поскольку $ 3^4 = 81 $, то $ \log_3 81 = 4 $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $ \log_2 4 $.

Найдем значение $ \log_2 4 $. Это степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 4. Поскольку $ 2^2 = 4 $, то $ \log_2 4 = 2 $.

Ответ: 2

2) Чтобы вычислить значение выражения $ \log_3 \log_2 8 $, мы начнем с вычисления внутреннего логарифма.

Найдем значение $ \log_2 8 $. Это степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 8. Поскольку $ 2^3 = 8 $, то $ \log_2 8 = 3 $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $ \log_3 3 $.

По определению логарифма, $ \log_a a = 1 $. Следовательно, $ \log_3 3 = 1 $.

Ответ: 1

3) Чтобы вычислить значение выражения $ 2 \log_{27} \log_{10} 1000 $, мы начнем с вычисления внутреннего логарифма.

Найдем значение $ \log_{10} 1000 $. Это степень, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 1000. Поскольку $ 10^3 = 1000 $, то $ \log_{10} 1000 = 3 $.

Теперь подставим полученный результат в выражение: $ 2 \log_{27} 3 $.

Найдем значение $ \log_{27} 3 $. Это степень, в которую нужно возвести 27, чтобы получить 3. Пусть $ \log_{27} 3 = x $. Тогда $ 27^x = 3 $. Так как $ 27 = 3^3 $, то $ (3^3)^x = 3^1 $, или $ 3^{3x} = 3^1 $. Отсюда $ 3x = 1 $, и $ x = \frac{1}{3} $.

Окончательно, умножим на коэффициент 2: $ 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{2}{3} $

4) Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{1}{3} \log_9 \log_2 8 $, мы начнем с вычисления внутреннего логарифма.

Найдем значение $ \log_2 8 $. Поскольку $ 2^3 = 8 $, то $ \log_2 8 = 3 $.

Теперь подставим полученный результат в выражение: $ \frac{1}{3} \log_9 3 $.

Найдем значение $ \log_9 3 $. Это степень, в которую нужно возвести 9, чтобы получить 3. Пусть $ \log_9 3 = y $. Тогда $ 9^y = 3 $. Так как $ 9 = 3^2 $, то $ (3^2)^y = 3^1 $, или $ 3^{2y} = 3^1 $. Отсюда $ 2y = 1 $, и $ y = \frac{1}{2} $.

Окончательно, умножим на коэффициент $ \frac{1}{3} $: $ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $.

Ответ: $ \frac{1}{6} $

5) Выражение $ 3 \log_2 \log_4 16 + \log_{\frac{1}{2}} 2 $ состоит из двух слагаемых. Вычислим каждое из них по отдельности.

Первое слагаемое: $ 3 \log_2 \log_4 16 $. Сначала вычислим внутренний логарифм $ \log_4 16 $. Поскольку $ 4^2 = 16 $, то $ \log_4 16 = 2 $. Подставим это значение: $ 3 \log_2 2 $. Так как $ \log_2 2 = 1 $, то первое слагаемое равно $ 3 \cdot 1 = 3 $.

Второе слагаемое: $ \log_{\frac{1}{2}} 2 $. Пусть $ \log_{\frac{1}{2}} 2 = z $. Тогда $ (\frac{1}{2})^z = 2 $. Так как $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $, то $ (2^{-1})^z = 2^1 $, или $ 2^{-z} = 2^1 $. Отсюда $ -z = 1 $, и $ z = -1 $.

Теперь сложим результаты: $ 3 + (-1) = 2 $.

Ответ: 2

6) Выражение $ 2 \log_4 \log_{16} 256 + \log_{\sqrt{2}} 8 $ состоит из двух слагаемых. Вычислим каждое из них по отдельности.

Первое слагаемое: $ 2 \log_4 \log_{16} 256 $. Сначала вычислим внутренний логарифм $ \log_{16} 256 $. Поскольку $ 16^2 = 256 $, то $ \log_{16} 256 = 2 $. Подставим это значение: $ 2 \log_4 2 $. Найдем $ \log_4 2 $. Пусть $ \log_4 2 = w $. Тогда $ 4^w = 2 $. Так как $ 4=2^2 $, то $ (2^2)^w = 2^1 $, или $ 2^{2w} = 2^1 $. Отсюда $ 2w=1 $ и $ w=\frac{1}{2} $. Первое слагаемое равно $ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $.

Второе слагаемое: $ \log_{\sqrt{2}} 8 $. Пусть $ \log_{\sqrt{2}} 8 = v $. Тогда $ (\sqrt{2})^v = 8 $. Так как $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $ и $ 8=2^3 $, то $ (2^{1/2})^v = 2^3 $, или $ 2^{v/2} = 2^3 $. Отсюда $ \frac{v}{2} = 3 $, и $ v = 6 $.

Теперь сложим результаты: $ 1 + 6 = 7 $.

Ответ: 7

При каких значениях $x$ имеет смысл выражение (769-770)?

769. 1) $\log_6 (49 - x^2)$;

2) $\log_7 (x^2 + x - 6)$;

3) $\log_{\frac{1}{5}} (x^2 + 2x + 7)$;

4) $y = \log_{0,3} (7x - 2x^2 - 3)$;

5) $y = \log_2 \frac{2x - 1}{x - 5}$;

6) $y = \log_{\frac{1}{7}} \frac{5x + 1}{4 - x}$;

7) $y = \log_{10} \sqrt{x^2 - 1}$;

8) $y = \log_{0,1} \sqrt{9 - x^2}$.

1) Выражение $ \log_6(49 - x^2) $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ 49 - x^2 > 0 $
$ x^2 < 49 $
$ |x| < 7 $
Это неравенство эквивалентно двойному неравенству $ -7 < x < 7 $.
Таким образом, $ x $ принадлежит интервалу $ (-7; 7) $.
Ответ: $ x \in (-7; 7) $.

2) Выражение $ \log_7(x^2 + x - 6) $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ x^2 + x - 6 > 0 $
Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 + x - 6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = 2 $.
Парабола $ y = x^2 + x - 6 $ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Следовательно, $ x < -3 $ или $ x > 2 $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -3) \cup (2; \infty) $.

3) Выражение $ \log_{\frac{1}{5}}(x^2 + 2x + 7) $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ x^2 + 2x + 7 > 0 $
Рассмотрим квадратный трехчлен $ x^2 + 2x + 7 $. Найдем его дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24 $.
Так как дискриминант отрицателен ($ D < 0 $) и старший коэффициент положителен ($ a = 1 > 0 $), квадратный трехчлен положителен при любых значениях $ x $.
Ответ: $ x \in (-\infty; \infty) $.

4) Выражение $ y = \log_{0.3}(7x - 2x^2 - 3) $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ 7x - 2x^2 - 3 > 0 $
$ -2x^2 + 7x - 3 > 0 $
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$ 2x^2 - 7x + 3 < 0 $
Найдем корни уравнения $ 2x^2 - 7x + 3 = 0 $. $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 $.
$ x_1 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2} $, $ x_2 = \frac{7 + 5}{4} = 3 $.
Парабола $ y = 2x^2 - 7x + 3 $ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между корнями.
Следовательно, $ \frac{1}{2} < x < 3 $.
Ответ: $ x \in (\frac{1}{2}; 3) $.

5) Выражение $ y = \log_2\frac{2x - 1}{x - 5} $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ \frac{2x - 1}{x - 5} > 0 $
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5 $. Нуль знаменателя: $ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 $.
На числовой прямой отмечаем точки 0.5 и 5, которые разбивают ее на три интервала.
При $ x > 5 $ (например, $ x=6 $), дробь $ \frac{11}{1} > 0 $.
При $ 0.5 < x < 5 $ (например, $ x=1 $), дробь $ \frac{1}{-4} < 0 $.
При $ x < 0.5 $ (например, $ x=0 $), дробь $ \frac{-1}{-5} > 0 $.
Нас интересуют интервалы, где дробь положительна.
Ответ: $ x \in (-\infty; 0.5) \cup (5; \infty) $.

6) Выражение $ y = \log_{\frac{1}{7}}\frac{5x + 1}{4 - x} $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ \frac{5x + 1}{4 - x} > 0 $
Решим методом интервалов. Нули числителя: $ 5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0.2 $. Нуль знаменателя: $ 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4 $.
На числовой прямой отмечаем точки -0.2 и 4.
При $ x > 4 $ (например, $ x=5 $), дробь $ \frac{26}{-1} < 0 $.
При $ -0.2 < x < 4 $ (например, $ x=0 $), дробь $ \frac{1}{4} > 0 $.
При $ x < -0.2 $ (например, $ x=-1 $), дробь $ \frac{-4}{5} < 0 $.
Нас интересует интервал, где дробь положительна.
Ответ: $ x \in (-0.2; 4) $.

7) Выражение $ y = \log_{10}\sqrt{x^2 - 1} $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ \sqrt{x^2 - 1} > 0 $
Квадратный корень положителен тогда, когда подкоренное выражение строго положительно.
$ x^2 - 1 > 0 $
$ x^2 > 1 $
$ |x| > 1 $, что означает $ x < -1 $ или $ x > 1 $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty) $.

8) Выражение $ y = \log_{0.1}\sqrt{9 - x^2} $ имеет смысл, когда аргумент логарифма строго больше нуля. Решим неравенство:
$ \sqrt{9 - x^2} > 0 $
Подкоренное выражение должно быть строго положительным.
$ 9 - x^2 > 0 $
$ x^2 < 9 $
$ |x| < 3 $, что означает $ -3 < x < 3 $.
Ответ: $ x \in (-3; 3) $.

770. 1) $\log_3 (1 - x^3)$;

2) $\log_2 (x^3 + 8)$;

3) $\log_{\frac{1}{4}} (x^3 + x^2 - 6x)$;

4) $\log_{\frac{1}{3}} (x^3 + x^2 - 2x)$.

1)

Область определения логарифмической функции $\log_a(f(x))$ задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$.

Для функции $\log_3(1 - x^3)$ необходимо решить неравенство:

$1 - x^3 > 0$

Перенесем $x^3$ в правую часть неравенства, изменив его знак:

$1 > x^3$

Это эквивалентно неравенству:

$x^3 < 1$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем (знак неравенства сохраняется, так как функция $y=\sqrt[3]{t}$ является монотонно возрастающей):

$x < 1$

Таким образом, область определения функции — это интервал от минус бесконечности до 1, не включая 1.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$

2)

Для функции $\log_2(x^3 + 8)$ аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^3 + 8 > 0$

Перенесем 8 в правую часть:

$x^3 > -8$

Извлечем кубический корень из обеих частей неравенства:

$x > \sqrt[3]{-8}$

$x > -2$

Следовательно, область определения — это все числа, которые больше -2.

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$

3)

Для функции $\log_{\frac{1}{4}}(x^3 + x^2 - 6x)$ найдем область определения, решив неравенство:

$x^3 + x^2 - 6x > 0$

Разложим многочлен в левой части на множители. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + x - 6) > 0$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 6$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -6. Корнями являются числа 2 и -3. Тогда:

$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$

Неравенство принимает вид:

$x(x+3)(x-2) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни выражения в левой части: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$. Нанесем эти точки на числовую ось, они разделят ее на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом интервале:

• Интервал $(2; +\infty)$: возьмем $x=3$. $3(3+3)(3-2) = 18 > 0$. Знак «+».
• Интервал $(0; 2)$: возьмем $x=1$. $1(1+3)(1-2) = -4 < 0$. Знак «-».
• Интервал $(-3; 0)$: возьмем $x=-1$. $-1(-1+3)(-1-2) = 6 > 0$. Знак «+».
• Интервал $(-\infty; -3)$: возьмем $x=-4$. $-4(-4+3)(-4-2) = -24 < 0$. Знак «-».

Мы ищем значения $x$, при которых выражение положительно. Это соответствует интервалам со знаком «+».

Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (2; +\infty)$

4)

Для функции $\log_{\frac{1}{3}}(x^3 + x^2 - 2x)$ решим неравенство:

$x^3 + x^2 - 2x > 0$

Разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(x^2 + x - 2) > 0$

Разложим квадратный трехчлен $x^2 + x - 2$ на множители. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -2. Корнями являются числа 1 и -2. Тогда:

$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$

Неравенство принимает вид:

$x(x+2)(x-1) > 0$

Решим методом интервалов. Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Нанесем точки на числовую ось. Определим знак выражения на полученных интервалах:

• Интервал $(1; +\infty)$: возьмем $x=2$. $2(2+2)(2-1) = 8 > 0$. Знак «+».
• Интервал $(0; 1)$: возьмем $x=0.5$. $0.5(0.5+2)(0.5-1) < 0$. Знак «-».
• Интервал $(-2; 0)$: возьмем $x=-1$. $-1(-1+2)(-1-1) = 2 > 0$. Знак «+».
• Интервал $(-\infty; -2)$: возьмем $x=-3$. $-3(-3+2)(-3-1) < 0$. Знак «-».

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»).

Ответ: $x \in (-2; 0) \cup (1; +\infty)$

Решить уравнение (771–774).

771. 1) $2^x = 5$; 2) $1,2^x = 4$; 3) $4^{2x+3} = 5$; 4) $7^{1-2x} = 2$.

1) Дано показательное уравнение $2^x = 5$.

Для нахождения неизвестного показателя степени $x$ воспользуемся определением логарифма. Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается как $\log_a b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$.

В данном уравнении основание $a=2$, а число $b=5$. Следовательно, показатель степени $x$ равен логарифму числа 5 по основанию 2.

$x = \log_2 5$

Это является точным решением уравнения.

Ответ: $x = \log_2 5$.

2) Дано показательное уравнение $1,2^x = 4$.

Аналогично предыдущему пункту, применим определение логарифма. В этом уравнении основание $a=1,2$, а число $b=4$.

Следовательно, показатель степени $x$ равен логарифму числа 4 по основанию 1,2.

$x = \log_{1,2} 4$

Это точное решение уравнения.

Ответ: $x = \log_{1,2} 4$.

3) Дано уравнение $4^{2x+3} = 5$.

Чтобы решить это уравнение, прологарифмируем обе его части по основанию 4.

$\log_4(4^{2x+3}) = \log_4 5$

Используя основное логарифмическое тождество в виде $\log_a(a^y) = y$, левая часть уравнения упрощается:

$2x+3 = \log_4 5$

Теперь мы получили линейное уравнение относительно $x$. Решим его. Перенесём 3 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = \log_4 5 - 3$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\log_4 5 - 3}{2}$

Ответ: $x = \frac{\log_4 5 - 3}{2}$.

4) Дано уравнение $7^{1-2x} = 2$.

Прологарифмируем обе части этого уравнения по основанию 7.

$\log_7(7^{1-2x}) = \log_7 2$

Применим свойство логарифма $\log_a(a^y) = y$ к левой части:

$1-2x = \log_7 2$

Мы получили линейное уравнение. Выразим из него $x$. Сначала выразим $2x$:

$2x = 1 - \log_7 2$

Теперь разделим обе части на 2:

$x = \frac{1 - \log_7 2}{2}$

Ответ: $x = \frac{1 - \log_7 2}{2}$.

772. 1) $\log_x 27 = 3;$

2) $\log_x \frac{1}{7} = -1;$

3) $\log_x \sqrt{5} = -4;$

4) $\log_x 0,2 = -3.$

1) Согласно определению логарифма ($log_b a = c \iff b^c = a$), исходное уравнение $log_x 27 = 3$ можно переписать в виде степенного уравнения: $x^3 = 27$. Поскольку $27$ это $3$ в третьей степени ($27 = 3^3$), уравнение принимает вид: $x^3 = 3^3$. Из этого следует, что $x = 3$. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице ($x>0, x \neq 1$). Значение $x=3$ удовлетворяет данным условиям.
Ответ: $3$.

2) Используя определение логарифма, преобразуем уравнение $log_x \frac{1}{7} = -1$ в степенное: $x^{-1} = \frac{1}{7}$. По свойству степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), левая часть уравнения равна $\frac{1}{x}$. Таким образом, получаем равенство: $\frac{1}{x} = \frac{1}{7}$. Отсюда следует, что $x=7$. Проверяем, удовлетворяет ли найденное значение условиям для основания логарифма ($x>0, x \neq 1$). $7>0$ и $7 \neq 1$, следовательно, решение верно.
Ответ: $7$.

3) По определению логарифма, уравнение $log_x \sqrt{5} = -4$ эквивалентно степенному уравнению: $x^{-4} = \sqrt{5}$. Представим корень и левую часть в виде степеней: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$ и $x^{-4} = \frac{1}{x^4}$. Уравнение принимает вид: $x^{-4} = 5^{\frac{1}{2}}$. Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень $-\frac{1}{4}$: $(x^{-4})^{-\frac{1}{4}} = (5^{\frac{1}{2}})^{-\frac{1}{4}}$. Применяя свойство степеней ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем: $x^{(-4) \cdot (-\frac{1}{4})} = 5^{\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{4})}$. $x^1 = 5^{-\frac{1}{8}}$. Таким образом, $x = 5^{-\frac{1}{8}}$, что также можно записать как $\frac{1}{\sqrt[8]{5}}$. Это значение положительно и не равно единице.
Ответ: $5^{-\frac{1}{8}}$.

4) Используя определение логарифма, преобразуем уравнение $log_x 0,2 = -3$ в степенное: $x^{-3} = 0,2$. Представим десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Уравнение принимает вид: $x^{-3} = \frac{1}{5}$. По свойству степени с отрицательным показателем, $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$. Получаем: $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{5}$. Отсюда следует, что $x^3 = 5$. Извлекая кубический корень из обеих частей, находим $x$: $x = \sqrt[3]{5}$. Это значение удовлетворяет условиям для основания логарифма ($x > 0$ и $x \neq 1$).
Ответ: $\sqrt[3]{5}$.

773. 1) $7^{2x} + 7^x - 12 = 0;$

2) $9^x - 3^x - 12 = 0;$

3) $8^{x+1} - 8^{2x-1} = 30;$

4) $(\frac{1}{9})^x - 5(\frac{1}{3})^x + 6 = 0.$

1) Дано показательное уравнение $7^{2x} + 7^x - 12 = 0$.
Заметим, что $7^{2x} = (7^x)^2$. Уравнение можно переписать в виде: $(7^x)^2 + 7^x - 12 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $7^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
В новых переменных уравнение принимает вид: $t^2 + t - 12 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни этого уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.
Проверим условие $t > 0$. Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Корень $t_1 = 3$ удовлетворяет условию.
Выполним обратную замену: $7^x = 3$.
По определению логарифма, $x = \log_7 3$.
Ответ: $x = \log_7 3$.

2) Дано показательное уравнение $9^x - 3^x - 12 = 0$.
Представим $9^x$ как $(3^2)^x = (3^x)^2$. Уравнение примет вид: $(3^x)^2 - 3^x - 12 = 0$.
Сделаем замену переменной $y = 3^x$, где $y > 0$.
Получим квадратное уравнение: $y^2 - y - 12 = 0$.
Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Следовательно, корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -3$.
Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y > 0$.
Остается корень $y_1 = 4$.
Выполним обратную замену: $3^x = 4$.
Отсюда $x = \log_3 4$.
Ответ: $x = \log_3 4$.

3) Дано уравнение $8^{x+1} - 8^{2x-1} = 30$.
Используя свойства степеней $a^{m+n}=a^m a^n$ и $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$, преобразуем уравнение: $8^x \cdot 8^1 - \frac{8^{2x}}{8^1} = 30$
$8 \cdot 8^x - \frac{(8^x)^2}{8} = 30$.
Сделаем замену $z = 8^x$, где $z > 0$. $8z - \frac{z^2}{8} = 30$.
Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от знаменателя: $64z - z^2 = 240$.
Перенесем все члены в одну сторону и запишем стандартное квадратное уравнение: $z^2 - 64z + 240 = 0$.
Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 4096 - 960 = 3136 = 56^2$.
Корни уравнения: $z_{1,2} = \frac{64 \pm 56}{2}$.
$z_1 = \frac{64 + 56}{2} = \frac{120}{2} = 60$.
$z_2 = \frac{64 - 56}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Выполним обратную замену для каждого корня.
1) $8^x = 60 \implies x_1 = \log_8 60$.
2) $8^x = 4 \implies (2^3)^x = 2^2 \implies 2^{3x} = 2^2 \implies 3x = 2 \implies x_2 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = \log_8 60$.

4) Дано уравнение $(\frac{1}{9})^x - 5(\frac{1}{3})^x + 6 = 0$.
Так как $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$, то $(\frac{1}{9})^x = ((\frac{1}{3})^2)^x = ((\frac{1}{3})^x)^2$.
Уравнение принимает вид: $((\frac{1}{3})^x)^2 - 5(\frac{1}{3})^x + 6 = 0$.
Пусть $u = (\frac{1}{3})^x$, где $u > 0$. Получим квадратное уравнение: $u^2 - 5u + 6 = 0$.
Его корни легко находятся по теореме Виета: $u_1 = 2$ и $u_2 = 3$.
Оба корня положительны. Выполним обратную замену.
1) $(\frac{1}{3})^x = 2$.
По определению логарифма, $x_1 = \log_{1/3} 2$. Данный ответ также можно записать в виде $x_1 = -\log_3 2$.
2) $(\frac{1}{3})^x = 3$.
Представим как $3^{-x} = 3^1$. Приравнивая показатели степени, получаем $-x=1$, откуда $x_2 = -1$.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = \log_{1/3} 2$.

774. 1) $(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 6^x;$

2) $(3 \cdot 5^x + 2.5 \cdot 3^x)(2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x) = 8 \cdot 15^x.$

1) $(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 6^x$

Перепишем правую часть уравнения, используя свойство степеней $a^x b^x = (ab)^x$:
$8 \cdot 6^x = 8 \cdot (2 \cdot 3)^x = 8 \cdot 2^x \cdot 3^x$.
Исходное уравнение принимает вид:
$(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 2^x \cdot 3^x$.
Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $6^x = 2^x \cdot 3^x$. Так как $6^x > 0$ при любом действительном $x$, это преобразование является равносильным.
$\frac{(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x)}{2^x \cdot 3^x} = 8$
Разделим произведение дробей на две дроби:
$\frac{3^x + 2^x}{2^x} \cdot \frac{3^x + 3 \cdot 2^x}{3^x} = 8$
Разделим числитель каждой дроби на ее знаменатель почленно:
$(\frac{3^x}{2^x} + \frac{2^x}{2^x}) \cdot (\frac{3^x}{3^x} + \frac{3 \cdot 2^x}{3^x}) = 8$
$((\frac{3}{2})^x + 1) \cdot (1 + 3(\frac{2}{3})^x) = 8$

Введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{3}{2})^x$. Поскольку основание $\frac{3}{2} > 0$ и не равно 1, то $t > 0$.
Тогда $(\frac{2}{3})^x = ((\frac{3}{2})^{-1})^x = ((\frac{3}{2})^x)^{-1} = t^{-1} = \frac{1}{t}$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$(t + 1)(1 + \frac{3}{t}) = 8$
Приведем второй множитель к общему знаменателю:
$(t + 1)(\frac{t+3}{t}) = 8$
Так как $t>0$, умножим обе части на $t$:
$(t+1)(t+3) = 8t$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$t^2 + 3t + t + 3 = 8t$
$t^2 + 4t + 3 = 8t$
$t^2 - 4t + 3 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:
$t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Оба корня положительны, поэтому оба удовлетворяют условию $t>0$.
Выполним обратную замену:
1. Для $t_1 = 1$:
$(\frac{3}{2})^x = 1 \implies (\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^0 \implies x_1 = 0$.
2. Для $t_2 = 3$:
$(\frac{3}{2})^x = 3$. По определению логарифма, $x_2 = \log_{\frac{3}{2}}(3)$.

Ответ: $x=0, x=\log_{\frac{3}{2}}(3)$.

2) $(3 \cdot 5^x + 2,5 \cdot 3^x)(2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x) = 8 \cdot 15^x$

Представим $2,5$ как $\frac{5}{2}$ и $15^x$ как $3^x \cdot 5^x$.
$(3 \cdot 5^x + \frac{5}{2} \cdot 3^x)(2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x) = 8 \cdot 3^x \cdot 5^x$.
Как и в предыдущем задании, разделим обе части на $15^x = 3^x \cdot 5^x > 0$.
$\frac{(3 \cdot 5^x + \frac{5}{2} \cdot 3^x)(2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x)}{3^x \cdot 5^x} = 8$
$\frac{3 \cdot 5^x + \frac{5}{2} \cdot 3^x}{3^x} \cdot \frac{2 \cdot 3^x - 2 \cdot 5^x}{5^x} = 8$
$(3\frac{5^x}{3^x} + \frac{5}{2}\frac{3^x}{3^x}) \cdot (2\frac{3^x}{5^x} - 2\frac{5^x}{5^x}) = 8$
$(3(\frac{5}{3})^x + \frac{5}{2}) \cdot (2(\frac{3}{5})^x - 2) = 8$

Введем замену: пусть $t = (\frac{5}{3})^x$. Тогда $t > 0$ и $(\frac{3}{5})^x = \frac{1}{t}$.
Уравнение примет вид:
$(3t + \frac{5}{2})(\frac{2}{t} - 2) = 8$
Преобразуем выражения в скобках:
$(\frac{6t+5}{2}) \cdot (\frac{2-2t}{t}) = 8$
$(\frac{6t+5}{2}) \cdot \frac{2(1-t)}{t} = 8$
Сократим на 2:
$\frac{(6t+5)(1-t)}{t} = 8$
Умножим обе части на $t$ ($t \neq 0$):
$(6t+5)(1-t) = 8t$
$6t - 6t^2 + 5 - 5t = 8t$
$-6t^2 + t + 5 = 8t$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $t^2$ был положительным:
$6t^2 + 7t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
Найдем корни:
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 13}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm 13}{12}$.
$t_1 = \frac{-7+13}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-7-13}{12} = \frac{-20}{12} = -\frac{5}{3}$.

Согласно условию замены, $t > 0$, поэтому корень $t_2 = -\frac{5}{3}$ является посторонним.
Остается единственное решение $t = \frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену:
$(\frac{5}{3})^x = \frac{1}{2}$.
По определению логарифма, $x = \log_{\frac{5}{3}}(\frac{1}{2})$.

Ответ: $x = \log_{\frac{5}{3}}(\frac{1}{2})$.

775. При каких значениях $x$ имеет смысл выражение:

1) $\log_x (2x - 1)$;

2) $\log_{x - 1} (x + 1)$?

1)

Для того чтобы выражение $\log_x(2x - 1)$ имело смысл, должны выполняться три условия, определяющие область определения логарифмической функции:

1. Основание логарифма должно быть положительным: $x > 0$.
2. Основание логарифма не должно равняться единице: $x \neq 1$.
3. Аргумент логарифма (выражение под знаком логарифма) должен быть положительным: $2x - 1 > 0$.

Эти условия должны выполняться одновременно, поэтому запишем их в виде системы неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} $

Решим третье неравенство:

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$ или $x > 0.5$

Теперь найдем общее решение системы, то есть пересечение множеств, задаваемых условиями:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x > 0.5 \end{cases} $

Пересечением условий $x > 0$ и $x > 0.5$ является более сильное неравенство $x > 0.5$. С учетом дополнительного условия $x \neq 1$, получаем, что $x$ может принимать любые значения больше $0.5$, кроме $1$.

Это множество можно записать в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $x \in (0.5; 1) \cup (1; +\infty)$.

2)

Для того чтобы выражение $\log_{x-1}(x + 1)$ имело смысл, должны выполняться те же три условия для основания и аргумента логарифма:

1. Основание логарифма должно быть положительным: $x - 1 > 0$.
2. Основание логарифма не должно равняться единице: $x - 1 \neq 1$.
3. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x + 1 > 0$.

Запишем эти условия в виде системы:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 \neq 1 \\ x + 1 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство и условие в системе:

Из первого неравенства: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.

Из второго условия: $x - 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 2$.

Из третьего неравенства: $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$.

Теперь найдем пересечение полученных решений. Условие $x > 1$ является более строгим, чем $x > -1$, поэтому оно включает в себя третье условие. Таким образом, нам нужно удовлетворить двум условиям одновременно: $x > 1$ и $x \neq 2$.

Это означает, что $x$ может быть любым числом, большим $1$, но не равным $2$.

Это множество также записывается в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)$.

776. Решить относительно $x$ уравнение $9^x + 9a(1 - a) \cdot 3^{x-2} - a^3 = 0.$

Данное уравнение является показательным уравнением с параметром $a$.

$9^x + 9a(1-a) \cdot 3^{x-2} - a^3 = 0$

Преобразуем уравнение, приведя его к общему основанию 3. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$ и $3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{3^x}{9}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(3^x)^2 + 9a(1-a) \cdot \frac{3^x}{9} - a^3 = 0$

$(3^x)^2 + a(1-a) \cdot 3^x - a^3 = 0$

$(3^x)^2 + (a-a^2) \cdot 3^x - a^3 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $3^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то на новую переменную $t$ накладывается ограничение $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + (a-a^2)t - a^3 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем его дискриминант $D$:

$D = (a-a^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a^3) = a^2(1-a)^2 + 4a^3 = a^2(1 - 2a + a^2) + 4a^3$

$D = a^2 - 2a^3 + a^4 + 4a^3 = a^4 + 2a^3 + a^2$

Заметим, что полученное выражение для дискриминанта является полным квадратом:

$D = a^2(a^2 + 2a + 1) = a^2(a+1)^2 = (a(a+1))^2$

Теперь найдем корни уравнения для $t$, используя формулу корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-(a-a^2) \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{a^2 - a \pm \sqrt{(a(a+1))^2}}{2} = \frac{a^2 - a \pm |a(a+1)|}{2}$

Независимо от знака выражения $a(a+1)$, мы получаем два корня (которые могут совпадать):

$t_1 = \frac{a^2 - a + (a^2+a)}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2$

$t_2 = \frac{a^2 - a - (a^2+a)}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$

Теперь необходимо проверить выполнение условия $t > 0$ для каждого из корней и найти $x$.

1. Корень $t_1 = a^2$.

Условие $t_1 > 0$ равносильно $a^2 > 0$, что выполняется для всех $a \neq 0$.

2. Корень $t_2 = -a$.

Условие $t_2 > 0$ равносильно $-a > 0$, что выполняется при $a < 0$.

Рассмотрим все возможные случаи для параметра $a$:

Случай 1: $a > 0$

В этом случае $t_1 = a^2 > 0$ (является положительным корнем), а $t_2 = -a < 0$ (не является положительным корнем). Следовательно, имеем одно решение для $t$.

$3^x = t_1 = a^2$

$x = \log_3(a^2) = 2\log_3 a$

Случай 2: $a = 0$

Исходное уравнение принимает вид $9^x = 0$, что не имеет решений. Кроме того, оба корня для $t$ равны нулю ($t_1=0^2=0, t_2=-0=0$), что не удовлетворяет условию $t > 0$.

Случай 3: $a < 0$

В этом случае оба корня для $t$ положительны:

$t_1 = a^2 > 0$

$t_2 = -a > 0$

Следовательно, получаем два уравнения для $x$:

1) $3^x = t_1 = a^2 \implies x_1 = \log_3(a^2) = 2\log_3|a|$

2) $3^x = t_2 = -a \implies x_2 = \log_3(-a)$

Если $a = -1$, то $a^2 = 1$ и $-a = 1$. Корни $t_1$ и $t_2$ совпадают, и уравнение имеет одно решение $x = \log_3(1) = 0$. Наши формулы дают $x_1 = 2\log_3|-1| = 2\log_3(1) = 0$ и $x_2 = \log_3(-(-1)) = \log_3(1)=0$, что верно.

Ответ:

при $a > 0$: $x = 2\log_3 a$;

при $a = 0$: решений нет;

при $a < 0$: $x_1 = 2\log_3|a|$, $x_2 = \log_3(-a)$.