Страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

735. Выяснить, являются ли равносильными уравнения:

1) $5^x = 3^x$ и $(\frac{1}{3})^x = 3^x$;

2) $7^x = 1$ и $x^2 = 0$;

3) $4^x = 2$ и $x^2 = \frac{1}{4}$;

4) $(\frac{1}{3})^x = 9$ и $x\sqrt{\frac{1}{4}} = 16$.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы выяснить, являются ли представленные пары уравнений равносильными, необходимо найти корни каждого уравнения в паре и сравнить полученные множества решений.

1)
Решим первое уравнение: $5^x = 3^x$. Поскольку $3^x \neq 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $3^x$:
$\frac{5^x}{3^x} = 1$
$(\frac{5}{3})^x = 1$
Это равенство верно только тогда, когда показатель степени равен нулю, то есть $x = 0$. Множество решений первого уравнения: $\{0\}$.
Решим второе уравнение: $(\frac{1}{3})^x = 3^x$. Представим левую часть как степень с основанием 3:
$(3^{-1})^x = 3^x$
$3^{-x} = 3^x$
Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:
$-x = x \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
Множество решений второго уравнения также $\{0\}$.
Так как множества решений обоих уравнений совпадают, они являются равносильными.
Ответ: уравнения являются равносильными.

2)
Решим первое уравнение: $7^x = 1$. Мы знаем, что любое число в степени 0 равно 1, поэтому $7^x = 7^0$, откуда $x = 0$. Множество решений: $\{0\}$.
Решим второе уравнение: $x^2 = 0$. Единственным решением этого уравнения является $x = 0$. Множество решений: $\{0\}$.
Множества решений обоих уравнений совпадают.
Ответ: уравнения являются равносильными.

3)
Решим первое уравнение: $4^x = 2$. Приведем левую часть к основанию 2:
$(2^2)^x = 2^1 \implies 2^{2x} = 2^1$.
Приравнивая показатели, получаем $2x = 1$, откуда $x = \frac{1}{2}$. Множество решений: $\{\frac{1}{2}\}$.
Решим второе уравнение: $x^2 = \frac{1}{4}$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \implies x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.
Множество решений второго уравнения: $\{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\}$.
Множества решений не совпадают.
Ответ: уравнения не являются равносильными.

4)
Решим первое уравнение: $(\frac{1}{3})^x = 9$. Приведем обе части к основанию 3:
$(3^{-1})^x = 3^2 \implies 3^{-x} = 3^2$.
Приравнивая показатели, получаем $-x = 2$, то есть $x = -2$. Множество решений: $\{-2\}$.
Решим второе уравнение: $\sqrt[x]{\frac{1}{4}} = 16$. Перепишем его в виде степени:
$(\frac{1}{4})^{\frac{1}{x}} = 16$.
Приведем обе части к основанию 4:
$(4^{-1})^{\frac{1}{x}} = 4^2 \implies 4^{-\frac{1}{x}} = 4^2$.
Приравнивая показатели, получаем $-\frac{1}{x} = 2$, откуда $x = -\frac{1}{2}$. Множество решений: $\{-\frac{1}{2}\}$.
Множества решений $\{-2\}$ и $\{-\frac{1}{2}\}$ не совпадают.
Ответ: уравнения не являются равносильными.

736. Доказать, что последовательность значений функции $y=2^x$ при натуральных значениях $x=1, 2, 3, \ldots$ является геометрической прогрессией.

Чтобы доказать, что последовательность значений функции $y = 2^x$ при натуральных значениях $x = 1, 2, 3, \ldots$ является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение каждого последующего члена последовательности к предыдущему является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии.

Обозначим члены данной последовательности как $b_n$, где $n$ — натуральное число. Тогда $n$-й член последовательности соответствует значению функции при $x=n$. Таким образом, формула $n$-го члена последовательности имеет вид: $b_n = 2^n$.

Соответственно, следующий за ним, $(n+1)$-й член последовательности, будет равен: $b_{n+1} = 2^{n+1}$.

Теперь найдем отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му члену:$$ \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} $$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, упростим это выражение:$$ \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{(n+1)-n} = 2^1 = 2 $$

Так как отношение любого последующего члена к предыдущему является постоянным числом, равным 2, и не зависит от номера члена $n$, то по определению данная последовательность является геометрической прогрессией. Первый член этой прогрессии $b_1 = 2^1 = 2$, а знаменатель $q=2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение каждого последующего члена последовательности к предыдущему постоянно и равно $\frac{2^{n+1}}{2^n} = 2$, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией.

737. За первый год работы предприятие имело $a$ рублей прибыли.

В дальнейшем каждый год прибыль увеличивалась на $p\%$.

Какой станет прибыль предприятия за $n$-й год работы?

Данная задача описывает процесс, в котором некоторая величина ежегодно увеличивается на определенный процент от своего предыдущего значения. Такая последовательность величин образует геометрическую прогрессию.

Обозначим прибыль за первый год как $P_1$. По условию, $P_1 = a$.

Каждый год прибыль увеличивается на $p\%$. Это означает, что к текущей прибыли прибавляется $p\%$ от нее же. Чтобы найти новую величину после увеличения на $p\%$, нужно умножить старую величину на коэффициент $1 + \frac{p}{100}$.

Рассчитаем прибыль для нескольких первых лет:

• Прибыль за 1-й год: $P_1 = a$.
• Прибыль за 2-й год: $P_2 = P_1 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = a \cdot (1 + \frac{p}{100})$.
• Прибыль за 3-й год: $P_3 = P_2 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = \left(a \cdot (1 + \frac{p}{100})\right) \cdot (1 + \frac{p}{100}) = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$.

Заметим, что прибыль за $k$-й год ($P_k$) образует геометрическую прогрессию, где первый член $b_1 = a$, а знаменатель прогрессии $q = 1 + \frac{p}{100}$.

Формула для нахождения $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим наши значения в эту формулу, чтобы найти прибыль за $n$-й год ($P_n$):
$P_n = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n-1}$.

Таким образом, прибыль предприятия за $n$-й год работы будет равна начальной прибыли, умноженной на коэффициент роста в степени $n-1$.

Ответ: $a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^{n-1}$ рублей.

738. Построить график функции:

1) $y = 3^x - 1;$

2) $y = 3^{x-1};$

3) $y = 2^{2-x} + 3.$

1) Для построения графика функции $y = 3^x - 1$ воспользуемся методом преобразования графиков.
1. Исходный график — это график показательной функции $y_0 = 3^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс).
2. График функции $y = 3^x - 1$ получается из графика $y_0 = 3^x$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.

Найдем несколько точек для более точного построения:
- При $x = 0$, $y = 3^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(0, 0)$.
- При $x = 1$, $y = 3^1 - 1 = 3 - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.
- При $x = -1$, $y = 3^{-1} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$. Точка $(-1, -2/3)$.
- При $x = 2$, $y = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. Точка $(2, 8)$.

Горизонтальная асимптота также сдвигается на 1 единицу вниз и становится прямой $y = -1$.
Ответ: График функции $y = 3^x - 1$ — это график функции $y=3^x$, сдвинутый на 1 единицу вниз. Это возрастающая кривая, проходящая через начало координат, с горизонтальной асимптотой $y = -1$.

2) Для построения графика функции $y = 3^{x-1}$ также воспользуемся методом преобразования графиков.
1. Исходный график — это график показательной функции $y_0 = 3^x$.
2. График функции $y = 3^{x-1}$ получается из графика $y_0 = 3^x$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс.

Найдем несколько точек для построения:
- При $x = 1$, $y = 3^{1-1} = 3^0 = 1$. Точка $(1, 1)$.
- При $x = 0$, $y = 3^{0-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Точка $(0, 1/3)$.
- При $x = 2$, $y = 3^{2-1} = 3^1 = 3$. Точка $(2, 3)$.
- При $x = -1$, $y = 3^{-1-1} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Точка $(-1, 1/9)$.

Горизонтальный сдвиг не влияет на горизонтальную асимптоту, поэтому она остается $y=0$.
Ответ: График функции $y = 3^{x-1}$ — это график функции $y=3^x$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(1, 1)$, с горизонтальной асимптотой $y = 0$.

3) Для построения графика функции $y = 2^{2-x} + 3$ выполним последовательность преобразований.
Запишем функцию в виде $y = 2^{-(x-2)} + 3$.
1. Исходный график — это график показательной функции $y_0 = 2^x$.
2. Преобразуем его в график функции $y_1 = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x$. Это преобразование соответствует симметричному отражению графика $y_0=2^x$ относительно оси ординат. Полученная функция является убывающей.
3. Далее, чтобы получить график $y_2 = 2^{-(x-2)} = 2^{2-x}$, сдвигаем график $y_1=2^{-x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.
4. Наконец, для получения графика $y = 2^{2-x} + 3$, сдвигаем график $y_2$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

Найдем несколько точек для построения:
- При $x = 2$, $y = 2^{2-2} + 3 = 2^0 + 3 = 1+3=4$. Точка $(2, 4)$.
- При $x = 0$, $y = 2^{2-0} + 3 = 2^2 + 3 = 4+3=7$. Точка $(0, 7)$.
- При $x = 3$, $y = 2^{2-3} + 3 = 2^{-1} + 3 = 0.5+3=3.5$. Точка $(3, 3.5)$.

Горизонтальная асимптота исходной функции $y=2^x$ — это прямая $y=0$. После сдвига вверх на 3 единицы асимптота становится прямой $y = 3$.
Ответ: График функции $y = 2^{2-x} + 3$ получается из графика $y=2^x$ путем отражения относительно оси OY, сдвига на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Это убывающая кривая, проходящая через точки $(2, 4)$ и $(0, 7)$, с горизонтальной асимптотой $y=3$.

Решить уравнение (739—741).

739. 1) $0.6^x \cdot \left(\frac{25}{9}\right)^{x^2 - 12} = \left(\frac{27}{125}\right)^3$

2) $16\sqrt{0.25}^{5 - \frac{x}{4}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

1)

Исходное уравнение:

$0.6^x \cdot \left(\frac{25}{9}\right)^{x^2 - 12} = \left(\frac{27}{125}\right)^3$

Приведем все степени к одному основанию. Заметим, что $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$, $\frac{25}{9} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-1}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^{-2}$ и $\frac{27}{125} = \left(\frac{3}{5}\right)^3$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\left(\frac{3}{5}\right)^x \cdot \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\right)^{x^2 - 12} = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^3\right)^3$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим левую и правую части:

$\left(\frac{3}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-2(x^2 - 12)} = \left(\frac{3}{5}\right)^{3 \cdot 3}$

$\left(\frac{3}{5}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{-2x^2 + 24} = \left(\frac{3}{5}\right)^9$

Используя свойство степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в левой части, получим:

$\left(\frac{3}{5}\right)^{x - 2x^2 + 24} = \left(\frac{3}{5}\right)^9$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x - 2x^2 + 24 = 9$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-2x^2 + x + 24 - 9 = 0$

$-2x^2 + x + 15 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$2x^2 - x - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{1 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{1 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Ответ: $3; -2.5$.

2)

Исходное уравнение:

$16\sqrt{0.25^{5 - \frac{x}{4}}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в правой части должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

Приведем все части уравнения к основанию 2. Заметим, что $16 = 2^4$ и $0.25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$2^4 \cdot \sqrt{(2^{-2})^{5 - \frac{x}{4}}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

Упростим выражение под корнем в левой части, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2^{-2})^{5 - \frac{x}{4}} = 2^{-2(5 - \frac{x}{4})} = 2^{-10 + \frac{2x}{4}} = 2^{-10 + \frac{x}{2}}$

Теперь левая часть выглядит так:

$2^4 \cdot \sqrt{2^{-10 + \frac{x}{2}}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

Представим корень как степень $\frac{1}{2}$:

$2^4 \cdot (2^{-10 + \frac{x}{2}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

$2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}(-10 + \frac{x}{2})} = 2^{\sqrt{x+1}}$

$2^4 \cdot 2^{-5 + \frac{x}{4}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в левой части, получим:

$2^{4 - 5 + \frac{x}{4}} = 2^{\sqrt{x+1}}$

$2^{\frac{x}{4} - 1} = 2^{\sqrt{x+1}}$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$\frac{x}{4} - 1 = \sqrt{x+1}$

Это иррациональное уравнение. Для его решения возведем обе части в квадрат. При этом необходимо, чтобы обе части были неотрицательны. Правая часть $\sqrt{x+1} \ge 0$ по определению корня. Значит, и левая часть должна быть неотрицательной:

$\frac{x}{4} - 1 \ge 0 \implies \frac{x}{4} \ge 1 \implies x \ge 4$.

Это условие ($x \ge 4$) более строгое, чем ОДЗ ($x \ge -1$), поэтому будем использовать его для проверки корней.

Возводим в квадрат обе части уравнения $\frac{x}{4} - 1 = \sqrt{x+1}$:

$\left(\frac{x}{4} - 1\right)^2 = x+1$

$\frac{x^2}{16} - 2 \cdot \frac{x}{4} \cdot 1 + 1^2 = x+1$

$\frac{x^2}{16} - \frac{x}{2} + 1 = x+1$

$\frac{x^2}{16} - \frac{x}{2} - x = 0$

$\frac{x^2}{16} - \frac{3x}{2} = 0$

Умножим обе части на 16, чтобы избавиться от дробей:

$x^2 - 16 \cdot \frac{3x}{2} = 0$

$x^2 - 24x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-24) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 24$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \ge 4$.

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$, следовательно, это посторонний корень.

$x_2 = 24$ удовлетворяет условию $x \ge 4$, следовательно, это корень уравнения.

Ответ: $24$.

740. $2 \cdot 3^{3x-1} + 27^{x - \frac{2}{3}} = 9^{x-1} + 2 \cdot 3^{2x-1};$

2) $2^{\sqrt{x}+2} - 2^{\sqrt{x}+1} = 12 + 2^{\sqrt{x}-1};$

3) $22 \cdot 9^{x-1} - \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4;$

4) $5 \cdot 4^{x-1} - 16^x + 0.25 \cdot 2^{2x+2} + 7 = 0.$

1) $2 \cdot 3^{3x-1} + 27^{x-\frac{2}{3}} = 9^{x-1} + 2 \cdot 3^{2x-1}$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем все его члены к одному основанию, в данном случае к 3.

Преобразуем степени с основаниями 27 и 9:
$27^{x-\frac{2}{3}} = (3^3)^{x-\frac{2}{3}} = 3^{3(x-\frac{2}{3})} = 3^{3x-2}$
$9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2}$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$2 \cdot 3^{3x-1} + 3^{3x-2} = 3^{2x-2} + 2 \cdot 3^{2x-1}$

Теперь воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:

$2 \cdot 3^{3x} \cdot 3^{-1} + 3^{3x} \cdot 3^{-2} = 3^{2x} \cdot 3^{-2} + 2 \cdot 3^{2x} \cdot 3^{-1}$

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3x} + \frac{1}{9} \cdot 3^{3x} = \frac{1}{9} \cdot 3^{2x} + \frac{2}{3} \cdot 3^{2x}$

Вынесем общие множители $3^{3x}$ и $3^{2x}$ за скобки:

$3^{3x} \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{9}\right) = 3^{2x} \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{3}\right)$

Вычислим значения в скобках:

$\frac{2}{3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$

Уравнение принимает вид:

$3^{3x} \cdot \frac{7}{9} = 3^{2x} \cdot \frac{7}{9}$

Разделим обе части уравнения на $\frac{7}{9}$:

$3^{3x} = 3^{2x}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x = 2x$

$3x - 2x = 0$

$x = 0$

Ответ: 0.

2) $2^{\sqrt{x}+2} - 2^{\sqrt{x}+1} = 12 + 2^{\sqrt{x}-1}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:

$2^{\sqrt{x}} \cdot 2^2 - 2^{\sqrt{x}} \cdot 2^1 = 12 + 2^{\sqrt{x}} \cdot 2^{-1}$

$4 \cdot 2^{\sqrt{x}} - 2 \cdot 2^{\sqrt{x}} = 12 + \frac{1}{2} \cdot 2^{\sqrt{x}}$

Введем замену. Пусть $y = 2^{\sqrt{x}}$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $y = 2^{\sqrt{x}} \ge 2^0 = 1$.

Запишем уравнение с новой переменной:

$4y - 2y = 12 + \frac{1}{2}y$

$2y = 12 + \frac{1}{2}y$

Перенесем все члены с $y$ в левую часть:

$2y - \frac{1}{2}y = 12$

$\frac{3}{2}y = 12$

$y = 12 \cdot \frac{2}{3}$

$y = 8$

Значение $y=8$ удовлетворяет условию $y \ge 1$.

Теперь вернемся к исходной переменной:

$2^{\sqrt{x}} = 8$

Представим 8 как степень 2:

$2^{\sqrt{x}} = 2^3$

Приравниваем показатели:

$\sqrt{x} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 9$

Полученное значение $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$).

Ответ: 9.

3) $22 \cdot 9^{x-1} - \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4$

Приведем все степени к основанию 3:

$22 \cdot (3^2)^{x-1} - \frac{1}{3} \cdot 3^x \cdot 3^3 + \frac{1}{3} \cdot 3^x \cdot 3^2 = 4$

$22 \cdot 3^{2x-2} - \frac{27}{3} \cdot 3^x + \frac{9}{3} \cdot 3^x = 4$

$22 \cdot 3^{2x} \cdot 3^{-2} - 9 \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x = 4$

$\frac{22}{9} \cdot (3^x)^2 - 6 \cdot 3^x - 4 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = 3^x$. Учитывая, что показательная функция всегда положительна, $y>0$.

$\frac{22}{9}y^2 - 6y - 4 = 0$

Умножим уравнение на 9, чтобы избавиться от знаменателя:

$22y^2 - 54y - 36 = 0$

Для удобства разделим все члены на 2:

$11y^2 - 27y - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-27)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-18) = 729 + 792 = 1521$

Корень из дискриминанта $\sqrt{1521} = 39$.

Найдем корни $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{27 + 39}{2 \cdot 11} = \frac{66}{22} = 3$

$y_2 = \frac{27 - 39}{2 \cdot 11} = \frac{-12}{22} = -\frac{6}{11}$

Согласно условию $y>0$, корень $y_2 = -\frac{6}{11}$ является посторонним.

Вернемся к замене с $y_1=3$:

$3^x = 3$

$3^x = 3^1$

$x = 1$

Ответ: 1.

4) $5 \cdot 4^{x-1} - 16^x + 0.25 \cdot 2^{2x+2} + 7 = 0$

Приведем все члены уравнения к одному основанию, например, к 4. Для этого используем следующие преобразования: $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$; $0.25 = \frac{1}{4}$; $2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = (2^2)^x \cdot 4 = 4^x \cdot 4$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$5 \cdot 4^x \cdot 4^{-1} - (4^x)^2 + \frac{1}{4} \cdot (4^x \cdot 4) + 7 = 0$

$\frac{5}{4} \cdot 4^x - (4^x)^2 + 4^x + 7 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = 4^x$. Так как $4^x > 0$ для любого $x$, то $y > 0$.

$\frac{5}{4}y - y^2 + y + 7 = 0$

Сгруппируем члены с $y$ и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения:

$-y^2 + \left(\frac{5}{4} + 1\right)y + 7 = 0$

$-y^2 + \frac{9}{4}y + 7 = 0$

Умножим обе части на -4, чтобы избавиться от дроби и сменить знак у старшего коэффициента:

$4y^2 - 9y - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-28) = 81 + 448 = 529$

Корень из дискриминанта $\sqrt{529} = 23$.

Найдем корни $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{9 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$y_2 = \frac{9 - 23}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}$

Поскольку $y>0$, корень $y_2 = -\frac{7}{4}$ не подходит.

Выполним обратную замену для $y_1 = 4$:

$4^x = 4$

$4^x = 4^1$

$x = 1$

Ответ: 1.

741. 1) $2^{x+4} + 2^{x+2} = 5^{x+1} + 3 \cdot 5^x;$

2) $5^{2x} - 7^x - 5^{2x} \cdot 17 + 7^x \cdot 17 = 0;$

3) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2};$

4) $3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}.$

1) $2^{x+4} + 2^{x+2} = 5^{x+1} + 3 \cdot 5^x$

Преобразуем левую и правую части уравнения, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Левая часть: $2^{x+4} + 2^{x+2} = 2^x \cdot 2^4 + 2^x \cdot 2^2 = 16 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^x$.

Правая часть: $5^{x+1} + 3 \cdot 5^x = 5^x \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^x = 5 \cdot 5^x + 3 \cdot 5^x$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$16 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^x = 5 \cdot 5^x + 3 \cdot 5^x$

Вынесем общие множители за скобки:

$2^x(16+4) = 5^x(5+3)$

$2^x \cdot 20 = 5^x \cdot 8$

Разделим обе части уравнения на $5^x$ (это возможно, так как $5^x > 0$ при любом $x$) и на 20:

$\frac{2^x}{5^x} = \frac{8}{20}$

Используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и сократив дробь в правой части, получим:

$(\frac{2}{5})^x = \frac{2}{5}$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 1$

Ответ: $1$

2) $5^{2x} - 7^x - 5^{2x} \cdot 17 + 7^x \cdot 17 = 0$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$(5^{2x} - 17 \cdot 5^{2x}) + (17 \cdot 7^x - 7^x) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$5^{2x}(1 - 17) + 7^x(17 - 1) = 0$

$5^{2x}(-16) + 7^x(16) = 0$

Перенесем одно из слагаемых в правую часть:

$16 \cdot 7^x = 16 \cdot 5^{2x}$

Разделим обе части на 16:

$7^x = 5^{2x}$

Представим $5^{2x}$ как $(5^2)^x = 25^x$:

$7^x = 25^x$

Разделим обе части на $25^x$ (это возможно, так как $25^x > 0$):

$\frac{7^x}{25^x} = 1$

$(\frac{7}{25})^x = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, следовательно:

$x=0$

Ответ: $0$

3) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:

$2^{x^2-1} + 2^{x^2+2} = 3^{x^2-1} + 3^{x^2}$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем уравнение:

$2^{x^2} \cdot 2^{-1} + 2^{x^2} \cdot 2^2 = 3^{x^2} \cdot 3^{-1} + 3^{x^2}$

$2^{x^2} \cdot \frac{1}{2} + 2^{x^2} \cdot 4 = 3^{x^2} \cdot \frac{1}{3} + 3^{x^2} \cdot 1$

Вынесем общие множители за скобки:

$2^{x^2}(\frac{1}{2} + 4) = 3^{x^2}(\frac{1}{3} + 1)$

$2^{x^2}(\frac{1+8}{2}) = 3^{x^2}(\frac{1+3}{3})$

$2^{x^2} \cdot \frac{9}{2} = 3^{x^2} \cdot \frac{4}{3}$

Разделим обе части на $3^{x^2}$ и на $\frac{9}{2}$:

$\frac{2^{x^2}}{3^{x^2}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{9}$

$(\frac{2}{3})^{x^2} = \frac{8}{27}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:

$(\frac{2}{3})^{x^2} = (\frac{2}{3})^3$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 = 3$

Отсюда находим корни:

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $\pm\sqrt{3}$

4) $3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}$

Преобразуем слагаемые, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^x \cdot 9^2 = 6 \cdot 4^x \cdot 4^1 - \frac{1}{2} \cdot 9^x \cdot 9^1$

$3 \cdot 4^x + \frac{81}{3} \cdot 9^x = 24 \cdot 4^x - \frac{9}{2} \cdot 9^x$

$3 \cdot 4^x + 27 \cdot 9^x = 24 \cdot 4^x - \frac{9}{2} \cdot 9^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$27 \cdot 9^x + \frac{9}{2} \cdot 9^x = 24 \cdot 4^x - 3 \cdot 4^x$

Вынесем общие множители за скобки:

$9^x(27 + \frac{9}{2}) = 4^x(24 - 3)$

$9^x(\frac{54+9}{2}) = 4^x \cdot 21$

$9^x \cdot \frac{63}{2} = 4^x \cdot 21$

Разделим обе части на $4^x$ и на $\frac{63}{2}$:

$\frac{9^x}{4^x} = 21 \cdot \frac{2}{63}$

$(\frac{9}{4})^x = \frac{42}{63}$

Сократим дробь в правой части на 21:

$(\frac{9}{4})^x = \frac{2}{3}$

Представим левую часть как степень с основанием $\frac{3}{2}$: $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2$. Правую часть представим как степень с тем же основанием: $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$.

$((\frac{3}{2})^2)^x = (\frac{3}{2})^{-1}$

$(\frac{3}{2})^{2x} = (\frac{3}{2})^{-1}$

Приравняем показатели степеней:

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-0.5$

742. Решить неравенство:

1) $8,4^{\frac{x-3}{x^2+1}} < 1;$

2) $2^{x^2} \cdot 5^{x^2} < 10^{-3}(10^3 - x)^2;$

3) $\frac{4^x - 2^{x+1} + 8}{2^{1-x}} < 8^x;$

4) $\frac{1}{3^x+5} \leq \frac{1}{3^{x+1}-1}.$

1) $8.4^{\frac{x-3}{x^2+1}} < 1$
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 8,4. Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, получаем:
$8.4^{\frac{x-3}{x^2+1}} < 8.4^0$
Поскольку основание степени $8.4 > 1$, показательная функция с таким основанием является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$\frac{x-3}{x^2+1} < 0$
Теперь решим это рациональное неравенство. Знаменатель дроби, $x^2+1$, всегда положителен при любом действительном значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $x^2+1 \ge 1$.
Поскольку знаменатель всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком числителя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:
$x-3 < 0$
$x < 3$
Решением неравенства является интервал $(-\infty, 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

2) $2^{x^2} \cdot 5^{x^2} < 10^{-3} \cdot (10^{3-x})^2$
Упростим обе части неравенства, используя свойства степеней: $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Левая часть: $2^{x^2} \cdot 5^{x^2} = (2 \cdot 5)^{x^2} = 10^{x^2}$.
Правая часть: $10^{-3} \cdot (10^{3-x})^2 = 10^{-3} \cdot 10^{2(3-x)} = 10^{-3} \cdot 10^{6-2x} = 10^{-3+6-2x} = 10^{3-2x}$.
После упрощения неравенство принимает вид:
$10^{x^2} < 10^{3-2x}$
Так как основание степени $10 > 1$, показательная функция является возрастающей, и мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:
$x^2 < 3-2x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:
$x^2 + 2x - 3 < 0$
Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
График функции $y = x^2 + 2x - 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между ее корнями.
Следовательно, решение неравенства есть интервал $-3 < x < 1$.
Ответ: $x \in (-3, 1)$.

3) $\frac{4^x - 2^{x+1} + 8}{2^{1-x}} < 8^x$
Приведем все степени к одному основанию, в данном случае к 2:
$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$
$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$
$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$
$2^{1-x} = 2^1 \cdot 2^{-x} = \frac{2}{2^x}$
Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$\frac{2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8}{2^{1-x}} < 2^{3x}$
Знаменатель $2^{1-x}$ всегда положителен, поэтому мы можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:
$2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{3x} \cdot 2^{1-x}$
$2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{3x + 1 - x}$
$2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{2x+1}$
$2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8 < 2 \cdot 2^{2x}$
Перенесем все члены в одну сторону:
$0 < 2 \cdot 2^{2x} - 2^{2x} + 2 \cdot 2^x - 8$
$0 < (2-1) \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 2^x - 8$
$2^{2x} + 2 \cdot 2^x - 8 > 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t^2 + 2t - 8 > 0$
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 2t - 8 = 0$. Корни равны $t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.
Решением неравенства $t^2 + 2t - 8 > 0$ являются $t < -4$ или $t > 2$.
Учитывая ограничение $t > 0$, получаем единственное решение для $t$: $t > 2$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$2^x > 2$
$2^x > 2^1$
Так как основание $2 > 1$, то $x > 1$.
Ответ: $x \in (1, \infty)$.

4) $\frac{1}{3^x + 5} \le \frac{1}{3^{x+1} - 1}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
1. $3^x + 5 \neq 0$. Это условие выполняется для всех действительных $x$, так как $3^x > 0$, а значит $3^x + 5 > 5$.
2. $3^{x+1} - 1 \neq 0 \Rightarrow 3^{x+1} \neq 1 \Rightarrow 3^{x+1} \neq 3^0 \Rightarrow x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{3^x + 5} - \frac{1}{3^{x+1} - 1} \le 0$
$\frac{(3^{x+1} - 1) - (3^x + 5)}{(3^x + 5)(3^{x+1} - 1)} \le 0$
Упростим числитель: $3^{x+1} - 1 - 3^x - 5 = 3 \cdot 3^x - 3^x - 6 = 2 \cdot 3^x - 6 = 2(3^x - 3)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{2(3^x - 3)}{(3^x + 5)(3 \cdot 3^x - 1)} \le 0$
Сделаем замену $t = 3^x$. Учитывая, что $3^x>0$, получаем $t>0$.
$\frac{2(t - 3)}{(t + 5)(3t - 1)} \le 0$
Так как $t>0$, то множитель $t+5$ в знаменателе всегда положителен. Значит, его можно опустить, сохранив знак неравенства (умножив обе части на $t+5 > 0$):
$\frac{t - 3}{3t - 1} \le 0$
Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $t=3$ и $t=1/3$.
Эти точки разбивают положительную полуось $t>0$ на интервалы $(0, 1/3)$, $(1/3, 3]$ и $(3, \infty)$.
Проверяя знак выражения $\frac{t - 3}{3t - 1}$ в каждом интервале, находим, что оно отрицательно, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, что выполняется при $1/3 < t < 3$.
Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), мы включаем корень числителя $t=3$. Корень знаменателя $t=1/3$ исключается.
Таким образом, решение для $t$ есть $1/3 < t \le 3$.
Вернемся к переменной $x$:
$1/3 < 3^x \le 3$
Запишем $1/3$ и $3$ как степени с основанием 3:
$3^{-1} < 3^x \le 3^1$
Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, и мы можем перейти к неравенству для показателей:
$-1 < x \le 1$
Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1$).
Ответ: $x \in (-1, 1]$.

743. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases}2^{x-y} = 128, \\(\frac{1}{2})^{x-2y+1} = \frac{1}{8};\end{cases}$

2) $\begin{cases}2^x \cdot 5^y = 10, \\5^y - 2^x = 3.\end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 2^{x-y} = 128, \\ (\frac{1}{2})^{x-2y+1} = \frac{1}{8}. \end{cases}$

Преобразуем каждое уравнение, приведя степени к одинаковому основанию.

В первом уравнении представим $128$ как $2^7$. Уравнение примет вид $2^{x-y} = 2^7$. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $x - y = 7$.

Во втором уравнении представим $\frac{1}{8}$ как $(\frac{1}{2})^3$. Уравнение примет вид $(\frac{1}{2})^{x-2y+1} = (\frac{1}{2})^3$. Приравнивая показатели, получаем: $x - 2y + 1 = 3$, что упрощается до $x - 2y = 2$.

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 7, \\ x - 2y = 2. \end{cases}$

Для ее решения вычтем второе уравнение из первого: $(x - y) - (x - 2y) = 7 - 2$.

Раскрыв скобки, получим: $x - y - x + 2y = 5$, что дает $y = 5$.

Подставим значение $y = 5$ в первое уравнение ($x - y = 7$): $x - 5 = 7$, откуда $x = 12$.

Решение системы: $(12; 5)$.

Ответ: $(12; 5)$.

2)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 2^x \cdot 5^y = 10, \\ 5^y - 2^x = 3. \end{cases}$

Для решения этой системы введем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = 5^y$. Учитывая, что показательная функция всегда положительна, имеем $a > 0$ и $b > 0$.

После замены система примет вид:

$\begin{cases} a \cdot b = 10, \\ b - a = 3. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b$: $b = a + 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $a \cdot (a + 3) = 10$.

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: $a^2 + 3a - 10 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$.

$a_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.

Согласно условию $a = 2^x > 0$, корень $a_1 = -5$ является посторонним. Следовательно, единственное подходящее значение $a = 2$.

Найдем соответствующее значение $b$: $b = a + 3 = 2 + 3 = 5$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

Из $a = 2^x$ и $a=2$ следует $2^x = 2^1$, откуда $x = 1$.

Из $b = 5^y$ и $b=5$ следует $5^y = 5^1$, откуда $y = 1$.

Решение системы: $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

744. Выяснить, равносильны ли неравенства:

1) $2^x > -2$ и $2^{2x} > 4$;

2) $2^x < \sqrt{x+1}$ и $2^{2x} < x+1$;

3) $2^x > \sqrt{x+1}$ и $2^{2x} > x+1$.

1) $2^x > -2$ и $2^{2x} > 4$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Рассмотрим первое неравенство: $2^x > -2$. Показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$. Область значений функции $E(y) = (0; +\infty)$. Следовательно, неравенство $2^x > -2$ выполняется для любого действительного числа $x$. Множество решений первого неравенства: $(-\infty; +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $2^{2x} > 4$. Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$. Неравенство принимает вид: $2^{2x} > 2^2$. Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $2x > 2$ $x > 1$ Множество решений второго неравенства: $(1; +\infty)$.

Сравним множества решений: $(-\infty; +\infty) \neq (1; +\infty)$. Так как множества решений не совпадают, неравенства не являются равносильными.

Ответ: неравенства не равносильны.

2) $2^x < \sqrt{x+1}$ и $2^{2x} < x+1$

Рассмотрим первое неравенство: $2^x < \sqrt{x+1}$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. На ОДЗ левая часть неравенства $2^x$ всегда положительна, а правая часть $\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательна. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства. Это преобразование будет равносильным на ОДЗ. $(2^x)^2 < (\sqrt{x+1})^2$ $2^{2x} < x+1$ Таким образом, первое неравенство равносильно системе: $\begin{cases} 2^{2x} < x+1 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Рассмотрим второе неравенство: $2^{2x} < x+1$. Левая часть этого неравенства $2^{2x}$ всегда положительна. Следовательно, для выполнения неравенства правая часть также должна быть положительной: $x+1 > 2^{2x} > 0 \implies x+1 > 0 \implies x > -1$. Это означает, что любое решение второго неравенства автоматически удовлетворяет условию $x > -1$, а значит и условию $x \ge -1$. Следовательно, множество решений второго неравенства совпадает с множеством решений системы, полученной из первого неравенства.

Поскольку оба неравенства приводятся к одной и той же системе условий (явно или неявно), их множества решений совпадают.

Ответ: неравенства равносильны.

3) $2^x > \sqrt{x+1}$ и $2^{2x} > x+1$

Рассмотрим первое неравенство: $2^x > \sqrt{x+1}$. Его ОДЗ: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. На этой области обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в квадрат: $(2^x)^2 > (\sqrt{x+1})^2$ $2^{2x} > x+1$ Следовательно, первое неравенство равносильно системе: $\begin{cases} 2^{2x} > x+1 \\ x \ge -1 \end{cases}$ Множество решений первого неравенства — это все решения второго неравенства, которые удовлетворяют условию $x \ge -1$.

Рассмотрим второе неравенство: $2^{2x} > x+1$. ОДЗ для этого неравенства — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Проверим, есть ли у второго неравенства решения, не входящие в ОДЗ первого. Возьмем, например, $x = -2$. Это значение не удовлетворяет условию $x \ge -1$. Подставим $x=-2$ во второе неравенство: $2^{2(-2)} > -2+1$ $2^{-4} > -1$ $\frac{1}{16} > -1$ Это верное неравенство. Значит, $x=-2$ является решением второго неравенства.

Однако $x=-2$ не входит в ОДЗ первого неравенства $2^x > \sqrt{x+1}$, так как при $x=-2$ выражение $\sqrt{x+1}$ не определено. Поскольку существует хотя бы одно решение второго неравенства, которое не является решением первого, множества их решений не совпадают.

Ответ: неравенства не равносильны.