Номер 738, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

738. Построить график функции:

1) $y = 3^x - 1;$

2) $y = 3^{x-1};$

3) $y = 2^{2-x} + 3.$

1) Для построения графика функции $y = 3^x - 1$ воспользуемся методом преобразования графиков.
1. Исходный график — это график показательной функции $y_0 = 3^x$. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс).
2. График функции $y = 3^x - 1$ получается из графика $y_0 = 3^x$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.

Найдем несколько точек для более точного построения:
- При $x = 0$, $y = 3^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(0, 0)$.
- При $x = 1$, $y = 3^1 - 1 = 3 - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.
- При $x = -1$, $y = 3^{-1} - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$. Точка $(-1, -2/3)$.
- При $x = 2$, $y = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. Точка $(2, 8)$.

Горизонтальная асимптота также сдвигается на 1 единицу вниз и становится прямой $y = -1$.
Ответ: График функции $y = 3^x - 1$ — это график функции $y=3^x$, сдвинутый на 1 единицу вниз. Это возрастающая кривая, проходящая через начало координат, с горизонтальной асимптотой $y = -1$.

2) Для построения графика функции $y = 3^{x-1}$ также воспользуемся методом преобразования графиков.
1. Исходный график — это график показательной функции $y_0 = 3^x$.
2. График функции $y = 3^{x-1}$ получается из графика $y_0 = 3^x$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс.

Найдем несколько точек для построения:
- При $x = 1$, $y = 3^{1-1} = 3^0 = 1$. Точка $(1, 1)$.
- При $x = 0$, $y = 3^{0-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Точка $(0, 1/3)$.
- При $x = 2$, $y = 3^{2-1} = 3^1 = 3$. Точка $(2, 3)$.
- При $x = -1$, $y = 3^{-1-1} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Точка $(-1, 1/9)$.

Горизонтальный сдвиг не влияет на горизонтальную асимптоту, поэтому она остается $y=0$.
Ответ: График функции $y = 3^{x-1}$ — это график функции $y=3^x$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(1, 1)$, с горизонтальной асимптотой $y = 0$.

3) Для построения графика функции $y = 2^{2-x} + 3$ выполним последовательность преобразований.
Запишем функцию в виде $y = 2^{-(x-2)} + 3$.
1. Исходный график — это график показательной функции $y_0 = 2^x$.
2. Преобразуем его в график функции $y_1 = 2^{-x} = (\frac{1}{2})^x$. Это преобразование соответствует симметричному отражению графика $y_0=2^x$ относительно оси ординат. Полученная функция является убывающей.
3. Далее, чтобы получить график $y_2 = 2^{-(x-2)} = 2^{2-x}$, сдвигаем график $y_1=2^{-x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.
4. Наконец, для получения графика $y = 2^{2-x} + 3$, сдвигаем график $y_2$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат.

Найдем несколько точек для построения:
- При $x = 2$, $y = 2^{2-2} + 3 = 2^0 + 3 = 1+3=4$. Точка $(2, 4)$.
- При $x = 0$, $y = 2^{2-0} + 3 = 2^2 + 3 = 4+3=7$. Точка $(0, 7)$.
- При $x = 3$, $y = 2^{2-3} + 3 = 2^{-1} + 3 = 0.5+3=3.5$. Точка $(3, 3.5)$.

Горизонтальная асимптота исходной функции $y=2^x$ — это прямая $y=0$. После сдвига вверх на 3 единицы асимптота становится прямой $y = 3$.
Ответ: График функции $y = 2^{2-x} + 3$ получается из графика $y=2^x$ путем отражения относительно оси OY, сдвига на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Это убывающая кривая, проходящая через точки $(2, 4)$ и $(0, 7)$, с горизонтальной асимптотой $y=3$.