Номер 731, страница 236 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

731. 1) $2^x + 2^{x-3} = 18;$

2) $3^x + 4 \cdot 3^{x+1} = 13;$

3) $2 \cdot 3^{x+1} - 6 \cdot 3^{x-1} - 3^x = 9;$

4) $5^{x+1} + 3 \cdot 5^{x-1} - 6 \cdot 5^x + 10 = 0.$

Решим уравнение $2^x + 2^{x-3} = 18$.

Для начала преобразуем второе слагаемое, используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^{x-3} = \frac{2^x}{2^3} = \frac{2^x}{8}$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$2^x + \frac{2^x}{8} = 18$

Теперь вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \left(1 + \frac{1}{8}\right) = 18$

Вычислим значение в скобках:

$1 + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$

Уравнение принимает вид:

$2^x \cdot \frac{9}{8} = 18$

Чтобы найти $2^x$, умножим обе части уравнения на $\frac{8}{9}$:

$2^x = 18 \cdot \frac{8}{9}$

$2^x = \frac{18 \cdot 8}{9} = 2 \cdot 8 = 16$

Теперь, когда мы имеем $2^x = 16$, представим 16 как степень двойки:

$16 = 2^4$

Следовательно, $2^x = 2^4$, откуда получаем, что $x=4$.

Ответ: $4$.

Решим уравнение $3^x + 4 \cdot 3^{x+1} = 13$.

Преобразуем второе слагаемое, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

Подставим это в исходное уравнение:

$3^x + 4 \cdot (3 \cdot 3^x) = 13$

$3^x + 12 \cdot 3^x = 13$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (1 + 12) = 13$

$3^x \cdot 13 = 13$

Разделим обе части уравнения на 13:

$3^x = 1$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому мы можем записать 1 как $3^0$.

$3^x = 3^0$

Приравнивая показатели степени, получаем $x=0$.

Ответ: $0$.

Решим уравнение $2 \cdot 3^{x+1} - 6 \cdot 3^{x-1} - 3^x = 9$.

Преобразуем члены уравнения, содержащие $x$ в показателе степени, используя свойства $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

$3^{x-1} = \frac{3^x}{3^1} = \frac{3^x}{3}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$2 \cdot (3 \cdot 3^x) - 6 \cdot \left(\frac{3^x}{3}\right) - 3^x = 9$

Упростим полученное выражение:

$6 \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x - 1 \cdot 3^x = 9$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (6 - 2 - 1) = 9$

Вычислим значение в скобках:

$3^x \cdot 3 = 9$

Разделим обе части уравнения на 3:

$3^x = 3$

Так как $3 = 3^1$, то $3^x = 3^1$.

Приравнивая показатели степени, находим $x=1$.

Ответ: $1$.

Решим уравнение $5^{x+1} + 3 \cdot 5^{x-1} - 6 \cdot 5^x + 10 = 0$.

Сначала преобразуем степени с основанием 5:

$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$

$5^{x-1} = \frac{5^x}{5^1} = \frac{5^x}{5}$

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$5 \cdot 5^x + 3 \cdot \left(\frac{5^x}{5}\right) - 6 \cdot 5^x + 10 = 0$

$5 \cdot 5^x + \frac{3}{5} \cdot 5^x - 6 \cdot 5^x + 10 = 0$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x \left(5 + \frac{3}{5} - 6\right) + 10 = 0$

Вычислим выражение в скобках:

$5 - 6 + \frac{3}{5} = -1 + \frac{3}{5} = -\frac{5}{5} + \frac{3}{5} = -\frac{2}{5}$

Уравнение примет вид:

$5^x \left(-\frac{2}{5}\right) + 10 = 0$

Перенесем 10 в правую часть:

$5^x \left(-\frac{2}{5}\right) = -10$

Теперь найдем $5^x$:

$5^x = -10 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)$

$5^x = \frac{10 \cdot 5}{2} = 5 \cdot 5 = 25$

Мы получили $5^x = 25$. Представим 25 как степень пятерки:

$25 = 5^2$

Значит, $5^x = 5^2$, откуда $x=2$.

Ответ: $2$.