Номер 726, страница 236 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

726. Сравнить числа:

1) $4^{-\sqrt{3}}$ и $4^{-\sqrt{2}}$;2) $2^{\sqrt{3}}$ и $2^{1,7}$;3) $(\frac{1}{2})^{1,4}$ и $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$;4) $(\frac{1}{9})^{\pi}$ и $(\frac{1}{9})^{3,14}$.

1) Чтобы сравнить числа $4^{-\sqrt{3}}$ и $4^{-\sqrt{2}}$, мы используем свойства показательной функции $y=a^x$. В данном случае основание $a=4$.

Так как основание $a=4 > 1$, показательная функция $y=4^x$ является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то $4^{x_1} < 4^{x_2}$.

Теперь сравним показатели степеней: $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{2}$.

Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1,732$ и $\sqrt{2} \approx 1,414$. Следовательно, $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.

При умножении обеих частей неравенства на $-1$, знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt{3} < -\sqrt{2}$.

Поскольку функция возрастающая, то из неравенства для показателей $-\sqrt{3} < -\sqrt{2}$ следует такое же неравенство для значений функции: $4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}}$.

Ответ: $4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}}$.

2) Сравним числа $2^{\sqrt{3}}$ и $2^{1,7}$.

Основание степени $a=2 > 1$, поэтому показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Большему значению показателя соответствует большее значение степени.

Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $1,7$. Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$(1,7)^2 = 2,89$

Поскольку $3 > 2,89$, то и $\sqrt{3} > 1,7$.

Так как функция возрастающая, из $\sqrt{3} > 1,7$ следует, что $2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7}$.

Ответ: $2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7}$.

3) Сравним числа $(\frac{1}{2})^{1,4}$ и $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.

Основание степени $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя соответствует меньшее значение степени.

Сравним показатели степеней: $1,4$ и $\sqrt{2}$. Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты.

$(1,4)^2 = 1,96$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

Поскольку $1,96 < 2$, то $1,4 < \sqrt{2}$.

Так как функция убывающая, из неравенства для показателей $1,4 < \sqrt{2}$ следует противоположное по знаку неравенство для значений функции: $(\frac{1}{2})^{1,4} > (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{1,4} > (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.

4) Сравним числа $(\frac{1}{9})^{\pi}$ и $(\frac{1}{9})^{3,14}$.

Основание степени $a = \frac{1}{9}$. Так как $0 < \frac{1}{9} < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{9})^x$ является убывающей. Большему значению показателя соответствует меньшее значение степени.

Сравним показатели степеней: $\pi$ и $3,14$.

Число $\pi$ — это иррациональное число, значение которого приблизительно равно $3,14159...$. Таким образом, $\pi > 3,14$.

Поскольку функция убывающая, из неравенства для показателей $\pi > 3,14$ следует противоположное по знаку неравенство для значений функции: $(\frac{1}{9})^{\pi} < (\frac{1}{9})^{3,14}$.

Ответ: $(\frac{1}{9})^{\pi} < (\frac{1}{9})^{3,14}$.