Номер 741, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

741. 1) $2^{x+4} + 2^{x+2} = 5^{x+1} + 3 \cdot 5^x;$

2) $5^{2x} - 7^x - 5^{2x} \cdot 17 + 7^x \cdot 17 = 0;$

3) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2};$

4) $3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}.$

1) $2^{x+4} + 2^{x+2} = 5^{x+1} + 3 \cdot 5^x$

Преобразуем левую и правую части уравнения, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Левая часть: $2^{x+4} + 2^{x+2} = 2^x \cdot 2^4 + 2^x \cdot 2^2 = 16 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^x$.

Правая часть: $5^{x+1} + 3 \cdot 5^x = 5^x \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^x = 5 \cdot 5^x + 3 \cdot 5^x$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$16 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^x = 5 \cdot 5^x + 3 \cdot 5^x$

Вынесем общие множители за скобки:

$2^x(16+4) = 5^x(5+3)$

$2^x \cdot 20 = 5^x \cdot 8$

Разделим обе части уравнения на $5^x$ (это возможно, так как $5^x > 0$ при любом $x$) и на 20:

$\frac{2^x}{5^x} = \frac{8}{20}$

Используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и сократив дробь в правой части, получим:

$(\frac{2}{5})^x = \frac{2}{5}$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = 1$

Ответ: $1$

2) $5^{2x} - 7^x - 5^{2x} \cdot 17 + 7^x \cdot 17 = 0$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$(5^{2x} - 17 \cdot 5^{2x}) + (17 \cdot 7^x - 7^x) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$5^{2x}(1 - 17) + 7^x(17 - 1) = 0$

$5^{2x}(-16) + 7^x(16) = 0$

Перенесем одно из слагаемых в правую часть:

$16 \cdot 7^x = 16 \cdot 5^{2x}$

Разделим обе части на 16:

$7^x = 5^{2x}$

Представим $5^{2x}$ как $(5^2)^x = 25^x$:

$7^x = 25^x$

Разделим обе части на $25^x$ (это возможно, так как $25^x > 0$):

$\frac{7^x}{25^x} = 1$

$(\frac{7}{25})^x = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, следовательно:

$x=0$

Ответ: $0$

3) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:

$2^{x^2-1} + 2^{x^2+2} = 3^{x^2-1} + 3^{x^2}$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем уравнение:

$2^{x^2} \cdot 2^{-1} + 2^{x^2} \cdot 2^2 = 3^{x^2} \cdot 3^{-1} + 3^{x^2}$

$2^{x^2} \cdot \frac{1}{2} + 2^{x^2} \cdot 4 = 3^{x^2} \cdot \frac{1}{3} + 3^{x^2} \cdot 1$

Вынесем общие множители за скобки:

$2^{x^2}(\frac{1}{2} + 4) = 3^{x^2}(\frac{1}{3} + 1)$

$2^{x^2}(\frac{1+8}{2}) = 3^{x^2}(\frac{1+3}{3})$

$2^{x^2} \cdot \frac{9}{2} = 3^{x^2} \cdot \frac{4}{3}$

Разделим обе части на $3^{x^2}$ и на $\frac{9}{2}$:

$\frac{2^{x^2}}{3^{x^2}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{9}$

$(\frac{2}{3})^{x^2} = \frac{8}{27}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:

$(\frac{2}{3})^{x^2} = (\frac{2}{3})^3$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 = 3$

Отсюда находим корни:

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $\pm\sqrt{3}$

4) $3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^{x+2} = 6 \cdot 4^{x+1} - \frac{1}{2} \cdot 9^{x+1}$

Преобразуем слагаемые, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3 \cdot 4^x + \frac{1}{3} \cdot 9^x \cdot 9^2 = 6 \cdot 4^x \cdot 4^1 - \frac{1}{2} \cdot 9^x \cdot 9^1$

$3 \cdot 4^x + \frac{81}{3} \cdot 9^x = 24 \cdot 4^x - \frac{9}{2} \cdot 9^x$

$3 \cdot 4^x + 27 \cdot 9^x = 24 \cdot 4^x - \frac{9}{2} \cdot 9^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$27 \cdot 9^x + \frac{9}{2} \cdot 9^x = 24 \cdot 4^x - 3 \cdot 4^x$

Вынесем общие множители за скобки:

$9^x(27 + \frac{9}{2}) = 4^x(24 - 3)$

$9^x(\frac{54+9}{2}) = 4^x \cdot 21$

$9^x \cdot \frac{63}{2} = 4^x \cdot 21$

Разделим обе части на $4^x$ и на $\frac{63}{2}$:

$\frac{9^x}{4^x} = 21 \cdot \frac{2}{63}$

$(\frac{9}{4})^x = \frac{42}{63}$

Сократим дробь в правой части на 21:

$(\frac{9}{4})^x = \frac{2}{3}$

Представим левую часть как степень с основанием $\frac{3}{2}$: $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2$. Правую часть представим как степень с тем же основанием: $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$.

$((\frac{3}{2})^2)^x = (\frac{3}{2})^{-1}$

$(\frac{3}{2})^{2x} = (\frac{3}{2})^{-1}$

Приравняем показатели степеней:

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-0.5$