Страница 230 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

700. При каких значениях $k$ уравнение $(k-1)4^x - 4 \cdot 2^x + (k+2)=0$ имеет хотя бы один корень?

Данное уравнение является показательным. Сделаем замену переменной, чтобы свести его к алгебраическому. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$, то для новой переменной должно выполняться условие $t > 0$. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$.

После подстановки замены в исходное уравнение, мы получаем уравнение относительно $t$, которое является квадратным при $k \neq 1$:

$(k-1)t^2 - 4t + (k+2) = 0$

Задача сводится к нахождению всех таких значений параметра $k$, при которых это уравнение имеет хотя бы один положительный корень ($t > 0$).

Рассмотрим отдельно случай, когда уравнение не является квадратным. Это происходит, когда коэффициент при $t^2$ обращается в ноль, то есть $k-1=0$, откуда $k=1$. При $k=1$ уравнение принимает вид:

$(1-1)t^2 - 4t + (1+2) = 0$

$-4t + 3 = 0$

$t = \frac{3}{4}$

Полученный корень $t = 3/4$ удовлетворяет условию $t>0$. Это означает, что при $k=1$ исходное уравнение имеет единственный корень $x = \log_2(3/4)$. Следовательно, значение $k=1$ входит в искомое множество.

Теперь рассмотрим случай, когда уравнение является квадратным, то есть $k \neq 1$. Для существования действительных корней у квадратного уравнения $(k-1)t^2 - 4t + (k+2) = 0$ его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.

$D = (-4)^2 - 4(k-1)(k+2) = 16 - 4(k^2 + k - 2) = 16 - 4k^2 - 4k + 8 = -4k^2 - 4k + 24$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$-4k^2 - 4k + 24 \ge 0$

$k^2 + k - 6 \le 0$

Корнями уравнения $k^2 + k - 6 = 0$ являются $k_1=-3$ и $k_2=2$. Неравенство выполняется на отрезке между корнями: $k \in [-3, 2]$.

Теперь нам нужно из этого отрезка (исключая $k=1$) выбрать те значения $k$, при которых есть хотя бы один положительный корень $t$. Проанализируем это условие, используя теорему Виета для корней $t_1$ и $t_2$. Сумма корней $S = t_1+t_2 = \frac{4}{k-1}$, а произведение $P = t_1t_2 = \frac{k+2}{k-1}$.

Если $k > 1$, то из условия $k \in [-3, 2]$ следует, что $k \in (1, 2]$. На этом интервале ветви параболы $f(t)=(k-1)t^2 - 4t + (k+2)$ направлены вверх, а знаменатель $k-1$ положителен, поэтому сумма корней $S = \frac{4}{k-1} > 0$. Если сумма действительных корней положительна, то хотя бы один из корней положителен. Таким образом, все значения $k \in (1, 2]$ являются решением.

Если $k < 1$, то из условия $k \in [-3, 2]$ следует, что $k \in [-3, 1)$. В этом случае ветви параболы $f(t)$ направлены вниз. Для существования хотя бы одного положительного корня у параболы с ветвями вниз необходимо, чтобы один корень был положительным, а другой — отрицательным (случай двух положительных корней невозможен). Условие, что корни имеют разные знаки, равносильно тому, что их произведение отрицательно: $P < 0$.

$\frac{k+2}{k-1} < 0$

Поскольку на рассматриваемом промежутке $k < 1$ знаменатель $k-1$ отрицателен, для выполнения неравенства числитель $k+2$ должен быть положителен: $k+2>0$, то есть $k>-2$. Пересекая это с $k \in [-3, 1)$, получаем $k \in (-2, 1)$. При $k=-2$ произведение $P=0$, а корни $t_1=0, t_2=-4/3$, ни один из которых не положителен, поэтому $k=-2$ не подходит.

Собирая воедино все полученные результаты: $k=1$ (линейный случай), $k \in (1, 2]$ (квадратный случай с $k>1$) и $k \in (-2, 1)$ (квадратный случай с $k<1$), мы получаем объединение этих множеств: $(-2, 1) \cup \{1\} \cup (1, 2]$.

Таким образом, итоговое множество значений $k$, при которых исходное уравнение имеет хотя бы один корень, представляет собой промежуток $(-2, 2]$.

Ответ: $k \in (-2, 2]$.

701. При каких значениях $x$ сумма чисел $2^{x-1}$, $2^{x-4}$ и $2^{x-2}$ равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6,5; 3,25; 1,625; ... ?

Задача состоит в том, чтобы найти значение $x$, при котором сумма чисел $2^{x-1}$, $2^{x-4}$ и $2^{x-2}$ равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии $6,5;\ 3,25;\ 1,625; \dots$

Для решения задачи нужно выполнить три шага:

1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
2. Выразить сумму чисел $2^{x-1}$, $2^{x-4}$ и $2^{x-2}$ через $x$.
3. Приравнять полученные выражения и решить уравнение относительно $x$.

1. Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Задана геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = 6,5$, а второй член $b_2 = 3,25$. Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3,25}{6,5} = 0,5$.

Поскольку $|q| = 0,5 < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму $S$ можно найти по формуле: $S = \frac{b_1}{1-q}$

Подставим наши значения: $S = \frac{6,5}{1 - 0,5} = \frac{6,5}{0,5} = 13$.

2. Найдем сумму чисел, содержащих переменную x.

Сумма чисел равна $2^{x-1} + 2^{x-4} + 2^{x-2}$. Для упрощения этого выражения вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^{x-4}$: $2^{x-1} + 2^{x-4} + 2^{x-2} = 2^{x-4} \cdot 2^3 + 2^{x-4} \cdot 2^0 + 2^{x-4} \cdot 2^2$

Вынесем $2^{x-4}$ за скобки: $2^{x-4} (2^3 + 2^0 + 2^2) = 2^{x-4} (8 + 1 + 4) = 2^{x-4} \cdot 13$.

3. Приравняем полученные суммы и решим уравнение.

Согласно условию задачи, первая сумма равна второй: $13 \cdot 2^{x-4} = 13$

Разделим обе части уравнения на 13: $2^{x-4} = 1$

Представим 1 как степень с основанием 2: $2^{x-4} = 2^0$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели: $x - 4 = 0$ $x = 4$

Ответ: $x=4$.

702. Доказать, что уравнение:

1) $4^x + 25^x = 29$;

2) $7^x + 18^x = 25 -

имеет только один корень $x=1$.

1)
Доказательство состоит из двух частей.

Проверка корня.
Подставим значение $x=1$ в уравнение $4^x + 25^x = 29$:
$4^1 + 25^1 = 4 + 25 = 29$.
Равенство $29 = 29$ является верным, следовательно, $x=1$ — корень данного уравнения.

Доказательство единственности.
Рассмотрим функцию, стоящую в левой части уравнения: $f(x) = 4^x + 25^x$.
Эта функция представляет собой сумму двух показательных функций: $y_1(x) = 4^x$ и $y_2(x) = 25^x$.
Поскольку основания степеней ($4$ и $25$) больше 1, обе функции $y_1(x)$ и $y_2(x)$ являются строго возрастающими на всей своей области определения.
Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией. Таким образом, $f(x)$ — строго возрастающая функция.
По свойству строго возрастающей функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Мы уже нашли, что $f(1) = 29$. Следовательно, других значений $x$, при которых $f(x)$ равнялось бы 29, не существует.
Это доказывает, что $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: Доказано, что уравнение $4^x + 25^x = 29$ имеет только один корень $x=1$.

2)
Доказательство для уравнения $7^x + 18^x = 25$ проводится аналогично предыдущему пункту.

Проверка корня.
Подставим $x=1$ в уравнение:
$7^1 + 18^1 = 7 + 18 = 25$.
Равенство $25 = 25$ верно, значит, $x=1$ является корнем.

Доказательство единственности.
Рассмотрим функцию $g(x) = 7^x + 18^x$.
Функции $y_1(x) = 7^x$ и $y_2(x) = 18^x$ являются строго возрастающими, так как их основания $7 > 1$ и $18 > 1$.
Их сумма, функция $g(x)$, также является строго возрастающей.
Строго возрастающая функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Поскольку мы уже выяснили, что $g(1) = 25$, других корней у уравнения быть не может.
Таким образом, $x=1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: Доказано, что уравнение $7^x + 18^x = 25$ имеет только один корень $x=1$.