Страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

659. Построить график функции:

1) $y = 3^x$;

2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

1) $y = 3^x$

Это показательная функция вида $y = a^x$ с основанием $a=3$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.

Основные свойства функции $y = 3^x$:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все положительные действительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$.
• График функции проходит через точку $(0; 1)$, так как $3^0 = 1$.
• Функция возрастает: если $x_2 > x_1$, то $3^{x_2} > 3^{x_1}$.
• Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметим точки $(-2; \frac{1}{9})$, $(-1; \frac{1}{3})$, $(0; 1)$, $(1; 3)$, $(2; 9)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Получим кривую, которая расположена в первой и второй координатных четвертях, слева она неограниченно приближается к оси OX, а справа уходит вверх.

Ответ: График функции $y = 3^x$ – это экспоненциальная кривая, проходящая через точку $(0; 1)$, возрастающая на всей области определения и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$.

2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

Это показательная функция вида $y = a^x$ с основанием $a=\frac{1}{3}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.

Заметим, что $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$. Это означает, что график этой функции симметричен графику функции $y = 3^x$ относительно оси ординат (оси OY).

Основные свойства функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все положительные действительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$.
• График функции проходит через точку $(0; 1)$, так как $(\frac{1}{3})^0 = 1$.
• Функция убывает: если $x_2 > x_1$, то $(\frac{1}{3})^{x_2} < (\frac{1}{3})^{x_1}$.
• Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметим точки $(-2; 9)$, $(-1; 3)$, $(0; 1)$, $(1; \frac{1}{3})$, $(2; \frac{1}{9})$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Получим кривую, которая расположена в первой и второй координатных четвертях, слева она уходит вверх, а справа неограниченно приближается к оси OX.

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ – это экспоненциальная кривая, проходящая через точку $(0; 1)$, убывающая на всей области определения и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.

660. С помощью графика функции $y = 3^x$ найти приближённое значение:

1) $\sqrt{3}$;

2) $3^{\frac{2}{3}};

3) $\frac{1}{\sqrt{3}};

4) $3^{-1,5}$.

Для нахождения приближенных значений выражений с помощью графика функции $y = 3^x$, необходимо каждое выражение представить в виде степени $3^k$ и найти на графике значение $y$ (ординату), соответствующее значению абсциссы $x=k$.

Общий алгоритм:

1. На оси абсцисс (Ox) найти точку, соответствующую показателю степени $k$.
2. Из этой точки провести вертикальную линию (перпендикуляр) до пересечения с графиком функции $y=3^x$.
3. Из точки пересечения провести горизонтальную линию до пересечения с осью ординат (Oy).
4. Значение на оси Oy в точке пересечения и будет искомым приближенным значением.

Применим этот метод к каждому случаю.

1) $\sqrt{3}$;

Представим выражение $\sqrt{3}$ как степень с основанием 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$. Следовательно, нам нужно найти значение функции $y = 3^x$ при $x = \frac{1}{2} = 0.5$.
На оси абсцисс находим точку $x=0.5$. Проведя от неё вертикальную линию к графику, а затем горизонтальную к оси ординат, мы определим соответствующее значение $y$. Это значение будет находиться между $y(0)=3^0=1$ и $y(1)=3^1=3$. По графику можно определить, что оно составляет приблизительно 1.7.
Ответ: $\approx 1.7$.

2) $3^{\frac{2}{3}}$;

В этом случае показатель степени $x = \frac{2}{3}$. Для удобства работы с графиком представим $x$ в виде десятичной дроби: $x = \frac{2}{3} \approx 0.67$.
На оси абсцисс находим точку $x \approx 0.67$. Она расположена между $x=0.5$ и $x=1$. Проведя соответствующие линии, как описано в алгоритме, находим значение $y$ на оси ординат. Оно будет больше $3^{0.5} \approx 1.7$ и меньше $3^1=3$. Приближенное значение по графику составляет около 2.1.
Ответ: $\approx 2.1$.

3) $\frac{1}{\sqrt{3}}$;

Представим выражение как степень с основанием 3: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = 3^{-\frac{1}{2}}$. Таким образом, искомое значение — это значение функции $y=3^x$ при $x = -0.5$.
На оси абсцисс находим точку $x=-0.5$. Она находится между $x=-1$ и $x=0$. Соответствующее значение $y$ будет находиться между $y(-1)=3^{-1}=\frac{1}{3} \approx 0.33$ и $y(0)=3^0=1$. По графику определяем, что значение примерно равно 0.6.
Ответ: $\approx 0.6$.

4) $3^{-1.5}$.

Здесь показатель степени $x = -1.5$ или $x = -\frac{3}{2}$.
На оси абсцисс находим точку $x=-1.5$. Она находится между $x=-2$ и $x=-1$. Соответствующее значение $y$ будет находиться между $y(-2)=3^{-2}=\frac{1}{9} \approx 0.11$ и $y(-1)=3^{-1}=\frac{1}{3} \approx 0.33$. По графику определяем, что значение примерно равно 0.2.
Ответ: $\approx 0.2$.

661. Изобразить схематически график функции:

1) $y=0,4^x$;

2) $y=(\sqrt{2})^x$;

3) $y=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^x$;

4) $y=(\sqrt{3})^x$.

1) $y=0,4^x$

Это показательная функция вида $y = a^x$ с основанием $a = 0,4$.

Так как основание $0 < 0,4 < 1$, функция является монотонно убывающей на всей области определения.

Для построения схематического графика определим его основные свойства и найдем несколько ключевых точек:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. График полностью расположен выше оси абсцисс.
• График пересекает ось ординат в точке $(0; 1)$, так как $0,4^0 = 1$.
• Найдем еще две точки: при $x=1$, $y=0,4^1=0,4$; при $x=-1$, $y=0,4^{-1} = (\frac{2}{5})^{-1} = \frac{5}{2} = 2,5$. Точки: $(1; 0,4)$ и $(-1; 2,5)$.
• Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$.

Схематически, график — это гладкая кривая, проходящая через точки $(-1; 2,5)$, $(0; 1)$ и $(1; 0,4)$. Она убывает слева направо, уходя в бесконечность при $x \to -\infty$ и приближаясь к оси Ox при $x \to +\infty$.

Ответ: График показательной функции с основанием меньше 1. Это убывающая кривая, проходящая через точку $(0; 1)$ и расположенная в верхней полуплоскости. Ось Ox — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.

2) $y=(\sqrt{2})^x$

Это показательная функция вида $y

662. (Устно.) Используя свойство возрастания (или убывания) показательной функции, сравнить числа:

1) $1,7^3$ и $1$;

2) $0,3^2$ и $1$;

3) $3,2^{1,5}$ и $3,2^{1,6}$;

4) $0,2^{-3}$ и $0,2^{-2}$;

5) $(\frac{1}{5})^{\sqrt{2}}$ и $(\frac{1}{5})^{1,4}$;

6) $3^\pi$ и $3^{3,14}$.

Для сравнения чисел используется свойство монотонности показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. То есть, большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. То есть, большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

1) Сравнить $1,7^3$ и $1$.
Рассмотрим показательную функцию $y = 1,7^x$. Так как основание $a = 1,7 > 1$, эта функция является возрастающей. Представим число $1$ в виде степени с основанием $1,7$: $1 = 1,7^0$. Теперь сравним показатели степеней: $3$ и $0$. Поскольку $3 > 0$ и функция возрастающая, то $1,7^3 > 1,7^0$.
Ответ: $1,7^3 > 1$.

2) Сравнить $0,3^2$ и $1$.
Рассмотрим показательную функцию $y = 0,3^x$. Так как основание $a = 0,3$, и $0 < 0,3 < 1$, эта функция является убывающей. Представим число $1$ в виде степени с основанием $0,3$: $1 = 0,3^0$. Сравним показатели степеней: $2$ и $0$. Поскольку $2 > 0$ и функция убывающая, то $0,3^2 < 0,3^0$.
Ответ: $0,3^2 < 1$.

3) Сравнить $3,2^{1,5}$ и $3,2^{1,6}$.
Основание степени $a = 3,2 > 1$, следовательно, показательная функция $y = 3,2^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $1,5 < 1,6$. Так как функция возрастающая, меньшему показателю соответствует меньшее значение степени.
Ответ: $3,2^{1,5} < 3,2^{1,6}$.

4) Сравнить $0,2^{-3}$ и $0,2^{-2}$.
Основание степени $a = 0,2$, и $0 < 0,2 < 1$, следовательно, показательная функция $y = 0,2^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $-3 < -2$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение степени.
Ответ: $0,2^{-3} > 0,2^{-2}$.

5) Сравнить $(\frac{1}{5})^{\sqrt{2}}$ и $(\frac{1}{5})^{1,4}$.
Основание степени $a = \frac{1}{5}$, и $0 < \frac{1}{5} < 1$, следовательно, показательная функция $y = (\frac{1}{5})^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$ и $1,4$. Мы знаем, что $\sqrt{2} \approx 1,414...$, значит $\sqrt{2} > 1,4$. Так как функция убывающая, большему показателю соответствует меньшее значение степени.
Ответ: $(\frac{1}{5})^{\sqrt{2}} < (\frac{1}{5})^{1,4}$.

6) Сравнить $3^\pi$ и $3^{3,14}$.
Основание степени $a = 3 > 1$, следовательно, показательная функция $y = 3^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\pi$ и $3,14$. Мы знаем, что $\pi \approx 3,14159...$, значит $\pi > 3,14$. Так как функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение степени.
Ответ: $3^\pi > 3^{3,14}$.

663. Сравнить с единицей число:

1) $(0,1)^{\sqrt{2}}$;

2) $(3,5)^{0,1}$;

3) $\pi^{-2,7}$;

4) $\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^{-1,2}$.

Для сравнения степенного выражения $a^x$ с единицей, нужно проанализировать основание $a$ и показатель степени $x$. Единицу можно представить как любое число (кроме нуля) в нулевой степени: $1 = a^0$.

Существуют два основных правила, основанных на свойствах монотонности показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, то функция $y=a^x$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции. Если $x > 0$, то $a^x > a^0$, то есть $a^x > 1$. Если $x < 0$, то $a^x < a^0$, то есть $a^x < 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, то функция $y=a^x$ является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции. Если $x > 0$, то $a^x < a^0$, то есть $a^x < 1$. Если $x < 0$, то $a^x > a^0$, то есть $a^x > 1$.

Сравним с единицей число $(0,1)^{\sqrt{2}}$.
Основание степени $a = 0,1$. Так как $0 < 0,1 < 1$, показательная функция с таким основанием является убывающей.
Показатель степени $x = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то значение степени будет меньше единицы.
Сравниваем показатели: $\sqrt{2} > 0$. Для убывающей функции, это означает $(0,1)^{\sqrt{2}} < (0,1)^0$, то есть $(0,1)^{\sqrt{2}} < 1$.

Ответ: $(0,1)^{\sqrt{2}} < 1$.

Сравним с единицей число $(3,5)^{0,1}$.
Основание степени $a = 3,5$. Так как $3,5 > 1$, показательная функция с таким основанием является возрастающей.
Показатель степени $x = 0,1$. Так как $0,1 > 0$, то значение степени будет больше единицы.
Сравниваем показатели: $0,1 > 0$. Для возрастающей функции, это означает $(3,5)^{0,1} > (3,5)^0$, то есть $(3,5)^{0,1} > 1$.

Ответ: $(3,5)^{0,1} > 1$.

Сравним с единицей число $\pi^{-2,7}$.
Основание степени $a = \pi$. Так как $\pi \approx 3,14159...$, то $a > 1$. Показательная функция с таким основанием является возрастающей.
Показатель степени $x = -2,7$. Так как $-2,7 < 0$, то значение степени будет меньше единицы.
Сравниваем показатели: $-2,7 < 0$. Для возрастающей функции, это означает $\pi^{-2,7} < \pi^0$, то есть $\pi^{-2,7} < 1$.
Альтернативно, $\pi^{-2,7} = \frac{1}{\pi^{2,7}}$. Поскольку $\pi > 1$, то и $\pi^{2,7} > 1$. Значит, обратная дробь $\frac{1}{\pi^{2,7}}$ меньше 1.

Ответ: $\pi^{-2,7} < 1$.

Сравним с единицей число $(\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1,2}$.
Сначала проанализируем основание $a = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Упростим его: $a = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Так как $5 > 1$, то $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$. Следовательно, обратная величина $\frac{1}{\sqrt{5}} < 1$. Таким образом, основание $0 < a < 1$.
Показательная функция с основанием $a = \frac{\sqrt{5}}{5}$ является убывающей.
Показатель степени $x = -1,2$. Так как $-1,2 < 0$, то значение степени будет больше единицы.
Сравниваем показатели: $-1,2 < 0$. Для убывающей функции, это означает $(\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1,2} > (\frac{\sqrt{5}}{5})^0$, то есть $(\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1,2} > 1$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{5}}{5})^{-1,2} > 1$.

664. Найти абсциссу точки пересечения графиков функций:

1) $y=2^x$ и $y=8$;

2) $y=3^x$ и $y=\frac{1}{3}$;

3) $y=\left(\frac{1}{4}\right)^x$ и $y=\frac{1}{16}$;

4) $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ и $y=9$.

1) Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков функций, нужно приравнять их правые части. В точке пересечения значения $y$ равны, следовательно, равны и выражения, их задающие.

Даны функции $y=2^x$ и $y=8$.

Приравниваем их:

$2^x = 8$

Чтобы решить это показательное уравнение, представим число 8 как степень с основанием 2:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Теперь уравнение имеет вид:

$2^x = 2^3$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 3$

Ответ: 3

2) Даны функции $y=3^x$ и $y=\frac{1}{3}$.

Приравниваем правые части уравнений:

$3^x = \frac{1}{3}$

Представим $\frac{1}{3}$ как степень с основанием 3, используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

Подставляем это в исходное уравнение:

$3^x = 3^{-1}$

Так как основания равны, приравниваем показатели:

$x = -1$

Ответ: -1

3) Даны функции $y=(\frac{1}{4})^x$ и $y=\frac{1}{16}$.

Приравниваем их:

$(\frac{1}{4})^x = \frac{1}{16}$

Представим число $\frac{1}{16}$ как степень с основанием $\frac{1}{4}$:

$\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = (\frac{1}{4})^2$

Теперь уравнение выглядит так:

$(\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{4})^2$

Основания степеней равны, следовательно, равны и их показатели:

$x = 2$

Ответ: 2

4) Даны функции $y=(\frac{1}{3})^x$ и $y=9$.

Приравниваем правые части:

$(\frac{1}{3})^x = 9$

Чтобы решить это уравнение, приведем обе его части к одному основанию, например, к основанию 3.

Левая часть: $(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$

Правая часть: $9 = 3^2$

Получаем уравнение:

$3^{-x} = 3^2$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = 2$

Умножаем обе части на -1:

$x = -2$

Ответ: -2