Номер 659, страница 224 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

659. Построить график функции:

1) $y = 3^x$;

2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

1) $y = 3^x$

Это показательная функция вида $y = a^x$ с основанием $a=3$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.

Основные свойства функции $y = 3^x$:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все положительные действительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$.
• График функции проходит через точку $(0; 1)$, так как $3^0 = 1$.
• Функция возрастает: если $x_2 > x_1$, то $3^{x_2} > 3^{x_1}$.
• Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметим точки $(-2; \frac{1}{9})$, $(-1; \frac{1}{3})$, $(0; 1)$, $(1; 3)$, $(2; 9)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Получим кривую, которая расположена в первой и второй координатных четвертях, слева она неограниченно приближается к оси OX, а справа уходит вверх.

Ответ: График функции $y = 3^x$ – это экспоненциальная кривая, проходящая через точку $(0; 1)$, возрастающая на всей области определения и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$.

2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

Это показательная функция вида $y = a^x$ с основанием $a=\frac{1}{3}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.

Заметим, что $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$. Это означает, что график этой функции симметричен графику функции $y = 3^x$ относительно оси ординат (оси OY).

Основные свойства функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все положительные действительные числа, $E(y) = (0; +\infty)$.
• График функции проходит через точку $(0; 1)$, так как $(\frac{1}{3})^0 = 1$.
• Функция убывает: если $x_2 > x_1$, то $(\frac{1}{3})^{x_2} < (\frac{1}{3})^{x_1}$.
• Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметим точки $(-2; 9)$, $(-1; 3)$, $(0; 1)$, $(1; \frac{1}{3})$, $(2; \frac{1}{9})$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Получим кривую, которая расположена в первой и второй координатных четвертях, слева она уходит вверх, а справа неограниченно приближается к оси OX.

Ответ: График функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ – это экспоненциальная кривая, проходящая через точку $(0; 1)$, убывающая на всей области определения и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to +\infty$.