Номер 1, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Найти область определения функции

$y = \sqrt{x+1+\sqrt[6]{x^2+2x-3}}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \sqrt{x+1} + \sqrt[6]{x^2+2x-3}$ представляет собой сумму двух слагаемых. Её область определения является пересечением областей определения каждого из слагаемых.

Для того чтобы функция была определена, должны одновременно выполняться два условия, так как оба корня имеют четную степень (2 и 6):

1. Выражение под первым корнем (квадратным) должно быть неотрицательным:

$x+1 \ge 0$

Решая это линейное неравенство, получаем:

$x \ge -1$

Это соответствует числовому промежутку $[-1; +\infty)$.

2. Выражение под вторым корнем (шестой степени) также должно быть неотрицательным:

$x^2+2x-3 \ge 0$

Это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-3$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -3$

Графиком функции $f(x) = x^2+2x-3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, неравенство $x^2+2x-3 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится левее или на меньшем корне и правее или на большем корне.

Таким образом, решением второго неравенства является объединение промежутков:

$x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$

3. Область определения исходной функции является пересечением множеств решений, полученных в пунктах 1 и 2:

$D(y) = \{ x \mid x \ge -1 \} \cap \{ x \mid x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty) \}$

Найдем это пересечение. Из всех чисел, которые больше или равны $-1$, нам нужно выбрать те, которые меньше или равны $-3$ или больше или равны $1$.

Условию $x \le -3$ не удовлетворяет ни одно число из промежутка $[-1; +\infty)$.

Условию $x \ge 1$ удовлетворяют все числа из промежутка $[1; +\infty)$, который является частью промежутка $[-1; +\infty)$.

Следовательно, пересечением является промежуток $[1; +\infty)$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.