Номер 1, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя глава V (1). Глава V. Степенная функция - номер 1, страница 217.

Условие.

1. Найти область определения функции:

1) $y=3(x-1)^{-2}$;

2) $y=\sqrt[4]{x^2-3x-4}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

1) $y = 3(x-1)^{-2}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.
Данную функцию можно представить в виде дроби, используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$y = \frac{3}{(x-1)^2}$
Основное ограничение для дробей заключается в том, что знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому мы должны исключить значения $x$, при которых знаменатель $(x-1)^2$ обращается в ноль.
Составим и решим условие:
$(x-1)^2 \neq 0$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x - 1 \neq 0$
Отсюда следует, что:
$x \neq 1$
Таким образом, область определения функции включает все действительные числа, кроме 1.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) $y = \sqrt[4]{x^2 - 3x - 4}$

Данная функция содержит корень четной степени (четвертой степени). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным (больше или равно нулю), так как извлечение корня четной степени из отрицательного числа в области действительных чисел не определено.
Следовательно, для нахождения области определения функции необходимо решить неравенство:
$x^2 - 3x - 4 \ge 0$
Это квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$
Корни уравнения, -1 и 4, являются границами интервалов. Графиком функции $f(x) = x^2 - 3x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Это означает, что парабола находится выше или на оси $x$ (то есть $f(x) \ge 0$) на интервалах вне корней, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства $x^2 - 3x - 4 \ge 0$ есть объединение промежутков $x \le -1$ и $x \ge 4$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$.