Номер 2, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Построить график функции:

1) $y = \sqrt[3]{x} + 1$;

2) $y = 2x^{-2}$;

3) $y = \frac{x^4}{2}$.

Для каждой функции указать область определения и те значения $x$, при которых $y > 0$.

1) $y = \sqrt[3]{x} + 1$

Построение графика:

График данной функции получается из графика базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy). График функции $y = \sqrt[3]{x}$ проходит через точки $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$. Соответственно, для построения графика $y = \sqrt[3]{x} + 1$ мы сдвигаем эти точки на 1 вверх:

• $(-8, -2+1) = (-8, -1)$
• $(-1, -1+1) = (-1, 0)$ (точка пересечения с осью Ox)
• $(0, 0+1) = (0, 1)$ (точка пересечения с осью Oy)
• $(1, 1+1) = (1, 2)$
• $(8, 2+1) = (8, 3)$

График представляет собой возрастающую на всей числовой оси кривую, проходящую через эти точки.

Область определения:

Функция кубического корня определена для любых действительных значений аргумента. Следовательно, область определения $D(y)$ — это множество всех действительных чисел.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Значения x, при которых y > 0:

Для нахождения этих значений решим неравенство:

$\sqrt[3]{x} + 1 > 0$

$\sqrt[3]{x} > -1$

Так как функция $f(t) = t^3$ является возрастающей, мы можем возвести обе части неравенства в куб, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[3]{x})^3 > (-1)^3$

$x > -1$

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. $y > 0$ при $x \in (-1; +\infty)$.

2) $y = 2x^{-2}$

Преобразуем вид функции для удобства: $y = \frac{2}{x^2}$.

Построение графика:

График этой функции получается из графика $y = \frac{1}{x^2}$ путем растяжения от оси Ox в 2 раза (умножение всех ординат на 2). Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{2}{(-x)^2} = \frac{2}{x^2} = y(x)$, а значит, ее график симметричен относительно оси Oy. Составим таблицу значений:

• $x = \pm 0.5 \implies y = \frac{2}{(0.5)^2} = \frac{2}{0.25} = 8$
• $x = \pm 1 \implies y = \frac{2}{1^2} = 2$
• $x = \pm 2 \implies y = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = 0.5$

Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0$, $y \to +\infty$. График состоит из двух ветвей, расположенных в первом и втором координатных квадрантах.

Область определения:

Функция определена для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

$x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.

Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Значения x, при которых y > 0:

Решим неравенство:

$\frac{2}{x^2} > 0$

Числитель $2$ всегда положителен. Знаменатель $x^2$ положителен для любого действительного числа $x$, кроме $x=0$. Таким образом, дробь положительна для всех $x$ из области определения функции.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) $y = \frac{x^4}{2}$

Построение графика:

Это степенная функция, ее график получается из графика $y = x^4$ путем сжатия к оси Ox в 2 раза (умножение ординат на коэффициент $\frac{1}{2}$). Функция является четной, $y(-x) = \frac{(-x)^4}{2} = \frac{x^4}{2} = y(x)$, поэтому ее график симметричен относительно оси Oy. Найдем несколько точек:

• $x = 0 \implies y = 0$
• $x = \pm 1 \implies y = \frac{1^4}{2} = 0.5$
• $x = \pm 2 \implies y = \frac{2^4}{2} = \frac{16}{2} = 8$

График имеет U-образную форму, похожую на параболу, но более "плоский" у начала координат и растущий быстрее при $|x| > 1$.

Область определения:

Данная функция является многочленом, который определен для любых действительных значений $x$.

$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Значения x, при которых y > 0:

Решим неравенство:

$\frac{x^4}{2} > 0$

Умножим обе части на 2:

$x^4 > 0$

Четвертая степень любого ненулевого числа является положительной. При $x=0$, $x^4=0$. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме нуля.

$x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$. $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.