Номер 4, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Решить неравенство $\sqrt{2x^2 - 5x - 3} > x-1$.

Данное иррациональное неравенство $\sqrt{2x^2-5x-3} > x-1$ решается путем рассмотрения двух случаев, в зависимости от знака выражения в правой части неравенства.

Случай 1: Правая часть отрицательна

Рассматриваем случай, когда $x-1 < 0$, то есть $x < 1$. В этом случае левая часть неравенства (арифметический квадратный корень) всегда неотрицательна и, следовательно, будет больше любого отрицательного числа. Единственное ограничение, которое необходимо учесть, — это область допустимых значений (ОДЗ) подкоренного выражения.

Таким образом, мы решаем систему:

$\begin{cases} x - 1 < 0 \\ 2x^2 - 5x - 3 \ge 0 \end{cases}$

Первое неравенство дает нам $x < 1$.

Для решения второго неравенства $2x^2 - 5x - 3 \ge 0$ найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$.

Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Находим корни: $x_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$; $x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.

Так как ветви параболы $y = 2x^2 - 5x - 3$ направлены вверх, неравенство $2x^2 - 5x - 3 \ge 0$ выполняется для $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [3; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x < 1 \\ x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [3; +\infty) \end{cases}$.

Пересечением этих множеств является промежуток $(-\infty; -\frac{1}{2}]$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна

Рассматриваем случай, когда $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. В этом случае обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства. Условие ОДЗ ($2x^2 - 5x - 3 \ge 0$) будет выполнено автоматически, так как $2x^2 - 5x - 3 > (x-1)^2 \ge 0$.

Решаем систему:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 2x^2 - 5x - 3 > (x - 1)^2 \end{cases}$

Первое неравенство дает нам $x \ge 1$.

Решаем второе неравенство:

$2x^2 - 5x - 3 > x^2 - 2x + 1$

$2x^2 - x^2 - 5x + 2x - 3 - 1 > 0$

$x^2 - 3x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. Используя теорему Виета или формулу корней, получаем $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 3x - 4$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x - 4 > 0$ выполняется для $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \ge 1 \\ x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) \end{cases}$.

Пересечением этих множеств является промежуток $(4; +\infty)$.

Объединение решений

Итоговое решение исходного неравенства является объединением решений, полученных в первом и втором случаях.

Объединяем множества: $(-\infty; -\frac{1}{2}] \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}] \cup (4; +\infty)$.