Номер 2, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Построить график функции:

1) $y=(x+2)^4-1;$

2) $y=(|x|+1)^{\frac{1}{3}}.$

1) Для построения графика функции $y=(x+2)^4-1$ мы будем использовать метод геометрических преобразований графика базовой функции $y=x^4$.

Построение выполняется в несколько шагов:
1. Базовый график: Строим график функции $y=x^4$. Это степенная функция с четным показателем. Ее график симметричен относительно оси ординат OY, проходит через начало координат $(0,0)$, которое является точкой минимума, а также через точки $(1,1)$ и $(-1,1)$. Внешне он напоминает параболу $y=x^2$, но его ветви растут быстрее, и он более "плоский" у вершины.
2. Горизонтальный сдвиг: Следующим шагом является построение графика $y=(x+2)^4$. Это соответствует сдвигу графика $y=x^4$ на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс OX. Вершина графика смещается из точки $(0,0)$ в точку $(-2,0)$.
3. Вертикальный сдвиг: Наконец, для получения графика искомой функции $y=(x+2)^4-1$, мы сдвигаем график $y=(x+2)^4$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат OY. Вершина графика смещается из точки $(-2,0)$ в точку $(-2,-1)$.

Для большей точности найдем ключевые точки графика:
- Вершина: Как было установлено, вершина графика, являющаяся его точкой минимума, находится в точке $(-2,-1)$.
- Пересечение с осью ординат (OY): Подставим $x=0$ в уравнение функции: $y=(0+2)^4-1 = 16-1 = 15$. Точка пересечения с OY — $(0,15)$.
- Пересечение с осью абсцисс (OX): Решим уравнение $y=0$:
$(x+2)^4-1 = 0$
$(x+2)^4 = 1$
Отсюда $x+2 = 1$ или $x+2 = -1$.
Из первого уравнения получаем $x = -1$.
Из второго уравнения получаем $x = -3$.
Точки пересечения с OX — $(-1,0)$ и $(-3,0)$.

Ответ: График функции $y=(x+2)^4-1$ является графиком функции $y=x^4$, смещенным на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. Вершина графика находится в точке $(-2, -1)$. График пересекает ось OX в точках $(-3, 0)$ и $(-1, 0)$ и ось OY в точке $(0, 15).

2) Построим график функции $y=(|x|+1)^3$.

Особенностью данной функции является наличие модуля $|x|$. Это означает, что функция является четной, так как $y(-x) = (|-x|+1)^3 = (|x|+1)^3 = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат OY.Это свойство позволяет нам построить сначала часть графика для $x \ge 0$, а затем получить вторую часть графика путем симметричного отражения относительно оси OY.

Шаг 1: Построение графика для $x \ge 0$.
Когда $x \ge 0$, имеем $|x|=x$. Функция принимает вид $y=(x+1)^3$.
Этот график можно получить из графика базовой функции $y=x^3$ (кубическая парабола) путем сдвига на 1 единицу влево вдоль оси OX. График $y=x^3$ проходит через точки $(-1,-1)$, $(0,0)$, $(1,1)$. После сдвига, график $y=(x+1)^3$ будет проходить через точки $(-2,-1)$, $(-1,0)$, $(0,1)$.
Нам нужна только та часть этого графика, которая соответствует условию $x \ge 0$. Эта часть начинается в точке пересечения с осью OY. При $x=0$, $y=(0+1)^3=1$. Итак, наша ветвь начинается в точке $(0,1)$ и уходит вверх. Например, при $x=1$, $y=(1+1)^3=8$.

Шаг 2: Построение всего графика.
Теперь отражаем построенную для $x \ge 0$ ветвь симметрично относительно оси OY. Точка $(1,8)$ перейдет в точку $(-1,8)$, точка $(2,27)$ — в $(-2,27)$ и так далее. Точка $(0,1)$ лежит на оси симметрии и останется на месте.

Итоговый график состоит из двух ветвей, симметрично расходящихся вверх от точки $(0,1)$. Эта точка является точкой минимума функции. В точке $(0,1)$ график имеет излом, так как касательные к левой и правой ветвям в этой точке различны.

Ответ: График функции $y=(|x|+1)^3$ симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком функции $y=(x+1)^3$, который является графиком $y=x^3$, сдвинутым на 1 единицу влево. Эта часть графика начинается в точке $(0,1)$ и возрастает. Часть графика для $x < 0$ получается зеркальным отражением первой части относительно оси OY. Точка $(0,1)$ является точкой минимума функции.