Номер 16, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

16. На каком утверждении основан способ подстановки при решении систем уравнений?

Способ подстановки при решении систем уравнений основан на фундаментальном свойстве равносильности систем уравнений. Суть этого свойства заключается в следующем утверждении:

Если в системе уравнений из одного уравнения выразить одну переменную через другие и подставить полученное выражение в остальные уравнения системы, то новая полученная система будет равносильна (эквивалентна) исходной.

Равносильные системы имеют одно и то же множество решений. Это означает, что любое решение исходной системы является решением новой системы, и наоборот. Таким образом, выполняя подстановку, мы преобразуем систему к более простому виду (уменьшая количество переменных в одном из уравнений), не рискуя при этом потерять существующие решения или приобрести посторонние.

Рассмотрим, как это работает на общем примере системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$$

Предположим, что мы можем выразить переменную $y$ из первого уравнения (то есть $b_1 \neq 0$):

$y = \frac{c_1 - a_1x}{b_1}$

Утверждение, лежащее в основе метода подстановки, гласит, что исходная система равносильна следующей системе:

$$\begin{cases}y = \frac{c_1 - a_1x}{b_1} \\a_2x + b_2\left(\frac{c_1 - a_1x}{b_1}\right) = c_2\end{cases}$$

Второе уравнение в новой системе теперь зависит только от одной переменной $x$. Решив его, мы находим значение $x$. Затем, подставив это найденное значение в первое уравнение ($y = \frac{c_1 - a_1x}{b_1}$), мы находим соответствующее значение $y$. Найденная пара $(x, y)$ и будет решением исходной системы, так как преобразования были равносильными.

Ответ: Способ подстановки основан на утверждении о том, что если из одного уравнения системы выразить одну переменную через другие и подставить это выражение в любое другое уравнение той же системы, то полученная новая система будет равносильна исходной (то есть будет иметь то же самое множество решений).