Номер 12, страница 217 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

12. Какое уравнение называется уравнением-следствием? Привести пример уравнения и его уравнения-следствия.

Какое уравнение называется уравнением-следствием?

Уравнение (2), которое записывается в виде $f_2(x) = g_2(x)$, называется уравнением-следствием для уравнения (1), имеющего вид $f_1(x) = g_1(x)$, если множество корней уравнения (1) является подмножеством множества корней уравнения (2). Проще говоря, любой корень исходного уравнения (1) обязательно является корнем уравнения-следствия (2).
При решении уравнений переход к уравнению-следствию — это распространенный приём. Однако при таких преобразованиях (например, при возведении обеих частей в квадрат или при освобождении от знаменателя) могут появиться посторонние корни. Это значения переменной, которые являются корнями уравнения-следствия, но не являются корнями исходного уравнения. Поэтому после нахождения корней уравнения-следствия всегда необходимо выполнять их проверку путем подстановки в исходное уравнение.

Ответ: Уравнение (2) называется уравнением-следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) также является корнем уравнения (2).

Привести пример уравнения и его уравнения-следствия.

Рассмотрим в качестве примера иррациональное уравнение:
$ \sqrt{2x+3} = x $

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части этого уравнения в квадрат. Данное преобразование не является равносильным и приводит к уравнению-следствию.
$ (\sqrt{2x+3})^2 = x^2 $
$ 2x+3 = x^2 $

Перенесем все члены в одну сторону и получим квадратное уравнение, которое является уравнением-следствием для исходного:
$ x^2 - 2x - 3 = 0 $

Найдем корни этого уравнения-следствия, например, с помощью теоремы Виета:
$ x_1 = 3 $
$ x_2 = -1 $

Теперь выполним проверку найденных корней, подставив их в исходное уравнение $ \sqrt{2x+3} = x $:
1. Проверка для $x_1=3$:
$ \sqrt{2 \cdot 3 + 3} = 3 $
$ \sqrt{9} = 3 $
$ 3 = 3 $ (верно).
Значит, $x=3$ является корнем исходного уравнения.
2. Проверка для $x_2=-1$:
$ \sqrt{2 \cdot (-1) + 3} = -1 $
$ \sqrt{1} = -1 $
$ 1 = -1 $ (неверно).
Значит, $x=-1$ — это посторонний корень, который появился в результате возведения в квадрат.

Таким образом, исходное уравнение $ \sqrt{2x+3} = x $ имеет один корень $\{3\}$, а его уравнение-следствие $ x^2 - 2x - 3 = 0 $ имеет два корня $\{3, -1\}$. Множество корней первого является подмножеством множества корней второго.

Ответ: Пример исходного уравнения: $ \sqrt{2x+3} = x $. Его уравнение-следствие: $ x^2 - 2x - 3 = 0 $.