Номер 5, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Перечислить свойства функции $y = x^p$, где:

1) $p=-(2n-1)$, $n \in N$;

2) $p=-2n$, $n \in N$;

3) $p>0$, $p$ — нецелое действительное число;

4) $p<0$, $p$ — нецелое действительное число.

Изобразить схематически график каждой из функций.

1) $p = -(2n - 1)$, $n \in \mathbb{N}$

В этом случае показатель степени $p$ является отрицательным нечетным целым числом (например, -1, -3, -5, ...). Функция имеет вид $y = x^{-(2n-1)} = \frac{1}{x^{2n-1}}$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю ($x \neq 0$).
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^{2n-1}} = \frac{1}{-x^{2n-1}} = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: отсутствуют, так как $y \neq 0$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX).
• График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$.

Схематический график (похож на график функции $y=1/x$):

Ответ: Функция $y = x^{-(2n-1)}$ определена для всех $x \neq 0$, нечетная, убывает на $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$. График представляет собой гиперболу, расположенную в I и III координатных четвертях.

2) $p = -2n$, $n \in \mathbb{N}$

В этом случае показатель степени $p$ является отрицательным четным целым числом (например, -2, -4, -6, ...). Функция имеет вид $y = x^{-2n} = \frac{1}{x^{2n}}$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$, так как $x^{2n} > 0$ для всех $x \neq 0$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^{2n}} = \frac{1}{x^{2n}} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.
• Нули функции: отсутствуют.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX).
• График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$.

Схематический график (похож на график функции $y=1/x^2$):

Ответ: Функция $y = x^{-2n}$ определена для всех $x \neq 0$, четная, возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$, имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$. График симметричен относительно оси OY, его ветви расположены в I и II координатных четвертях.

3) $p > 0$, $p$ — нецелое действительное число

В этом случае показатель степени $p$ является положительным, но не целым числом (например, 0.5, 1.7, $\pi$).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$. Степенная функция с нецелым действительным показателем по определению рассматривается для неотрицательных значений основания.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат $(0;0)$.
• Монотонность: функция строго возрастает на всей области определения.
• Выпуклость:
  • при $0 < p < 1$ график является выпуклым вверх (вогнутым).
  • при $p > 1$ график является выпуклым вниз (выпуклым).
• Асимптот нет. График проходит через точку $(1; 1)$.

Схематический график:

Ответ: Функция $y = x^p$ ($p>0, p \notin \mathbb{Z}$) определена для $x \ge 0$, возрастает, проходит через $(0;0)$ и $(1;1)$. При $0<p<1$ график выпуклый вверх, при $p>1$ — выпуклый вниз.

4) $p < 0$, $p$ — нецелое действительное число

В этом случае показатель степени $p$ является отрицательным, но не целым числом (например, -0.5, -2.5, $-\sqrt{2}$).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$. Основание должно быть положительным, и, так как показатель отрицательный ($y=1/x^{-p}$), основание не может быть равно нулю.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной.
• Нули функции: отсутствуют.
• Монотонность: функция строго убывает на всей области определения.
• Выпуклость: график является выпуклым вниз (выпуклым).
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX).
• График проходит через точку $(1; 1)$.

Схематический график:

Ответ: Функция $y = x^p$ ($p<0, p \notin \mathbb{Z}$) определена для $x > 0$, убывает, выпукла вниз, имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$. График расположен в I координатной четверти и проходит через точку $(1;1)$.