Номер 656, страница 216 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

656. Функция спроса q на некоторый товар задается формулой

$q(p) = \frac{70}{3p+5} - 2$, где p — цена товара. Найти:

1) область определения и множество значений функции спроса;

2) объём спроса при цене $p = 5$;

3) функцию, обратную функции спроса.

1) область определения и множество значений функции спроса

Дана функция спроса $q(p) = \frac{70}{3p+5} - 2$, где $p$ — цена товара, а $q$ — объём спроса.

Для нахождения области определения функции в экономическом контексте необходимо учесть, что цена $p$ и объём спроса $q$ не могут быть отрицательными.

1. Условие неотрицательности цены: $p \ge 0$.

2. Условие неотрицательности спроса: $q(p) \ge 0$.

Решим неравенство $q(p) \ge 0$:
$\frac{70}{3p+5} - 2 \ge 0$
$\frac{70}{3p+5} \ge 2$

Так как цена $p \ge 0$, знаменатель $3p+5$ всегда положителен. Следовательно, можно умножить обе части неравенства на $3p+5$, сохранив знак неравенства:
$70 \ge 2(3p+5)$
$70 \ge 6p + 10$
$60 \ge 6p$
$p \le 10$.

Объединяя оба условия ($p \ge 0$ и $p \le 10$), получаем область определения функции спроса: $p \in [0, 10]$.

Для нахождения множества значений функции $q(p)$ определим её поведение на области определения. Функция $q(p)$ является убывающей для $p \ge 0$, поскольку с ростом $p$ знаменатель $3p+5$ увеличивается, дробь $\frac{70}{3p+5}$ уменьшается, и, соответственно, значение $q(p)$ уменьшается.

Следовательно, максимальное значение функции достигается при минимальном значении $p$, то есть при $p=0$:
$q_{max} = q(0) = \frac{70}{3(0)+5} - 2 = \frac{70}{5} - 2 = 14 - 2 = 12$.

Минимальное значение функции достигается при максимальном значении $p$, то есть при $p=10$:
$q_{min} = q(10) = \frac{70}{3(10)+5} - 2 = \frac{70}{35} - 2 = 2 - 2 = 0$.

Таким образом, множество значений функции спроса — это отрезок $[0, 12]$.

Ответ: область определения $D(q) = [0, 10]$; множество значений $E(q) = [0, 12]$.

2) объём спроса при цене p = 5

Чтобы найти объём спроса при цене $p = 5$, подставим это значение в исходную формулу:
$q(5) = \frac{70}{3(5)+5} - 2$
$q(5) = \frac{70}{15+5} - 2$
$q(5) = \frac{70}{20} - 2$
$q(5) = 3.5 - 2 = 1.5$.

Ответ: при цене $p=5$ объём спроса составляет 1.5 единицы.

3) функцию, обратную функции спроса

Обратная функция, $p(q)$, выражает цену $p$ как функцию от объёма спроса $q$. Для её нахождения необходимо выразить $p$ из уравнения функции спроса $q = \frac{70}{3p+5} - 2$.

Перенесем -2 в левую часть:
$q + 2 = \frac{70}{3p+5}$

Выразим знаменатель $3p+5$:
$3p+5 = \frac{70}{q+2}$

Теперь выразим $p$:
$3p = \frac{70}{q+2} - 5$
$p = \frac{1}{3} \left( \frac{70}{q+2} - 5 \right)$
$p(q) = \frac{70}{3(q+2)} - \frac{5}{3}$

Упростим выражение:
$p(q) = \frac{70}{3q+6} - \frac{5}{3}$

Областью определения обратной функции $p(q)$ является множество значений исходной функции $q(p)$, то есть $q \in [0, 12]$.

Ответ: обратная функция имеет вид $p(q) = \frac{70}{3q+6} - \frac{5}{3}$ при $q \in [0, 12]$.