Номер 651, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (651–652).

651.

1) $\sqrt{x+1} < x-1;$

2) $\sqrt{1-x} > x+1;$

3) $\sqrt{3x-2} > x-2;$

4) $\sqrt{2x+1} \leq x+1.$

Решим неравенство $\sqrt{x+1} < x-1$.
Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе трех неравенств, так как обе части неравенства должны быть неотрицательны для возведения в квадрат, а также должен быть определен корень: $$ \begin{cases} x+1 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x-1 > 0 & \text{(правая часть больше левой, которая неотрицательна)} \\ (\sqrt{x+1})^2 < (x-1)^2 & \text{(возводим в квадрат обе части)} \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы:
1) $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2) $x-1 > 0 \implies x > 1$.
3) $x+1 < x^2 - 2x + 1 \implies 0 < x^2 - 3x \implies x(x-3) > 0$.
Решением квадратного неравенства $x(x-3) > 0$ являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.
Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Условия $x \ge -1$ и $x > 1$ вместе дают $x > 1$.
Пересечем это с решением третьего неравенства: $x \in (1, +\infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (3, +\infty))$.
Общим решением является интервал $(3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

Решим неравенство $\sqrt{1-x} > x+1$.
Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ рассматривается в двух случаях, которые объединяются в совокупность.

Случай 1: Правая часть отрицательна. Неравенство будет верным для всех $x$, при которых левая часть определена. $$ \begin{cases} x+1 < 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} $$ Решаем систему: $x < -1$ и $x \le 1$. Пересечением является $x < -1$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат. $$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ (\sqrt{1-x})^2 > (x+1)^2 \end{cases} $$ Решаем систему:
1) $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2) $1-x > x^2+2x+1 \implies 0 > x^2+3x \implies x(x+3) < 0$.
Решением квадратного неравенства $x(x+3) < 0$ является интервал $(-3, 0)$.
Пересечение решений $x \ge -1$ и $x \in (-3, 0)$ дает интервал $x \in [-1, 0)$.

Общее решение неравенства — это объединение решений из обоих случаев:
$x \in (-\infty, -1) \cup [-1, 0)$.
Итоговый результат: $x \in (-\infty, 0)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

Решим неравенство $\sqrt{3x-2} > x-2$.
Это неравенство также вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ и решается путем рассмотрения двух случаев.

Случай 1: Правая часть отрицательна ($x-2 < 0$). $$ \begin{cases} x-2 < 0 \\ 3x-2 \ge 0 & \text{(корень должен быть определен)} \end{cases} $$ Решаем систему: $x < 2$ и $3x \ge 2 \implies x \ge 2/3$. Пересечением является интервал $x \in [2/3, 2)$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна ($x-2 \ge 0$). $$ \begin{cases} x-2 \ge 0 \\ (\sqrt{3x-2})^2 > (x-2)^2 \end{cases} $$ Решаем систему:
1) $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
2) $3x-2 > x^2 - 4x + 4 \implies 0 > x^2 - 7x + 6 \implies x^2 - 7x + 6 < 0$.
Корнями уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$ являются $x_1=1$ и $x_2=6$. Решением неравенства $(x-1)(x-6) < 0$ является интервал $(1, 6)$.
Пересечение решений $x \ge 2$ и $x \in (1, 6)$ дает интервал $x \in [2, 6)$.

Объединяем решения из обоих случаев:
$x \in [2/3, 2) \cup [2, 6)$.
Итоговый результат: $x \in [2/3, 6)$.

Ответ: $x \in [2/3, 6)$.

Решим неравенство $\sqrt{2x+1} \le x+1$.
Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ равносильно системе неравенств: $$ \begin{cases} 2x+1 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x+1 \ge 0 & \text{(правая часть не может быть меньше неотрицательного корня)} \\ (\sqrt{2x+1})^2 \le (x+1)^2 & \text{(возводим в квадрат обе части)} \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы:
1) $2x+1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -1/2$.
2) $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
3) $2x+1 \le x^2 + 2x + 1 \implies 0 \le x^2 \implies x^2 \ge 0$.
Неравенство $x^2 \ge 0$ верно для любого действительного числа $x$, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.
Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \ge -1/2$, $x \ge -1$ и $x \in (-\infty, +\infty)$.
Общим решением является $x \ge -1/2$.

Ответ: $x \in [-1/2, +\infty)$.