Номер 648, страница 215 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

648. Построить график функции:

1) $y = \frac{3x - 1}{x + 3}$;

2) $y = \frac{4x - 3}{2x - 1}$;

3) $y = \sqrt{(x - 2)(x + 3)};$

4) $y = \sqrt{2x^2 + 5x - 3};$

5) $y = \frac{1}{(x + 1)(x + 2)};$

6) $y = \frac{1}{x^2 - 7x - 8}.$

1) $y = \frac{3x-1}{x+3}$

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. Для построения графика выполним следующие шаги:

• Преобразование функции. Выделим целую часть дроби:
  $y = \frac{3x - 1}{x + 3} = \frac{3(x + 3) - 9 - 1}{x + 3} = \frac{3(x + 3)}{x + 3} - \frac{10}{x + 3} = 3 - \frac{10}{x + 3}$.
  Итоговая форма: $y = -\frac{10}{x+3} + 3$.
• Анализ преобразований. График этой функции получается из графика базовой гиперболы $y = -\frac{10}{x}$ с помощью двух сдвигов:
  1. Сдвиг на 3 единицы влево вдоль оси Ox.
  2. Сдвиг на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.
• Асимптоты.
  • Вертикальная асимптота находится из условия, что знаменатель равен нулю: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.
  • Горизонтальная асимптота: $y = 3$.
• Точки пересечения с осями координат.
  • С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{3 \cdot 0 - 1}{0 + 3} = -\frac{1}{3}$. Точка пересечения — $(0, -1/3)$.
  • С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{3x - 1}{x + 3} \implies 3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$. Точка пересечения — $(1/3, 0)$.
• Построение. На координатной плоскости строим асимптоты $x=-3$ и $y=3$. Отмечаем точки $(0, -1/3)$ и $(1/3, 0)$. Так как коэффициент $k=-10$ отрицательный, ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой четвертях относительно новых осей (асимптот). Проводим ветви через отмеченные точки, приближая их к асимптотам.

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=-3$ и горизонтальной асимптотой $y=3$. Ветви расположены во II и IV координатных четвертях относительно асимптот и проходят через точки $(1/3, 0)$ и $(0, -1/3)$.

2) $y = \frac{4x-3}{2x-1}$

Это также дробно-рациональная функция (гипербола). Алгоритм построения аналогичен предыдущему пункту.

• Преобразование функции. Выделим целую часть:
  $y = \frac{4x - 3}{2x - 1} = \frac{2(2x - 1) + 2 - 3}{2x - 1} = \frac{2(2x - 1)}{2x - 1} - \frac{1}{2x - 1} = 2 - \frac{1}{2x - 1}$.
  Итоговая форма: $y = -\frac{1}{2x-1} + 2$.
• Асимптоты.
  • Вертикальная асимптота: $2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$.
  • Горизонтальная асимптота: $y = 2$.
• Точки пересечения с осями координат.
  • С осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{4 \cdot 0 - 3}{2 \cdot 0 - 1} = \frac{-3}{-1} = 3$. Точка $(0, 3)$.
  • С осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{4x - 3}{2x - 1} \implies 4x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{4}$. Точка $(3/4, 0)$.
• Построение. Строим асимптоты $x=1/2$ и $y=2$. Отмечаем точки $(0, 3)$ и $(3/4, 0)$. Ветви гиперболы располагаются во II и IV четвертях относительно асимптот. Проводим ветви через точки, приближая их к асимптотам.

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=1/2$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. Ветви расположены во II и IV координатных четвертях относительно асимптот и проходят через точки $(3/4, 0)$ и $(0, 3)$.

3) $y = \sqrt{(x-2)(x+3)}$

Это иррациональная функция. График представляет собой верхнюю часть гиперболы.

• Область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
  $(x-2)(x+3) \ge 0$.
  Решая методом интервалов, получаем: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.
• Преобразование. Возведем обе части уравнения в квадрат (учитывая, что $y \ge 0$):
  $y^2 = (x-2)(x+3) = x^2 + x - 6$.
  Выделим полный квадрат по $x$:
  $y^2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 6 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4}$.
  $(x + 0.5)^2 - y^2 = (2.5)^2$. Это уравнение гиперболы с центром в точке $(-0.5, 0)$.
• Ключевые точки.
  • Пересечение с осью Ox ($y=0$): $(x-2)(x+3) = 0 \implies x=2, x=-3$. Точки $(-3, 0)$ и $(2, 0)$. Это "начальные" точки графика.
  • Функция всегда неотрицательна, $y \ge 0$, поэтому график лежит в верхней полуплоскости.
• Наклонные асимптоты. При $x \to \pm\infty$ график приближается к прямым:
  • $y = x + 0.5$ при $x \to +\infty$.
  • $y = -x - 0.5$ при $x \to -\infty$.
• Построение. Рисуем асимптоты $y = x+0.5$ и $y = -x-0.5$. Отмечаем точки $(-3,0)$ и $(2,0)$. Из этих точек проводим две ветви графика вверх, приближая их к соответствующим асимптотам.

Ответ: График — верхняя часть гиперболы, расположенная в верхней полуплоскости. Он состоит из двух ветвей, начинающихся в точках $(-3, 0)$ и $(2, 0)$ и асимптотически приближающихся к прямым $y = x + 0.5$ и $y = -x - 0.5$.

4) $y = \sqrt{2x^2+5x-3}$

Функция аналогична предыдущей.

• Область определения (ОДЗ). $2x^2+5x-3 \ge 0$.
  Корни квадратного трехчлена $x_1 = -3, x_2 = 1/2$.
  Так как парабола $2x^2+5x-3$ имеет ветви вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1/2, +\infty)$.
• Ключевые точки. Пересечение с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(1/2, 0)$. График лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).
• Наклонные асимптоты.
  • При $x \to +\infty$: $y = \sqrt{2}x + \frac{5\sqrt{2}}{4}$.
  • При $x \to -\infty$: $y = -\sqrt{2}x - \frac{5\sqrt{2}}{4}$.
• Построение. Отмечаем точки $(-3,0)$ и $(1/2,0)$. Рисуем асимптоты (учитывая, что $\sqrt{2} \approx 1.41$ и $\frac{5\sqrt{2}}{4} \approx 1.77$). Из отмеченных точек проводим вверх две ветви, приближая их к асимптотам.

Ответ: График — верхняя часть гиперболы, состоящая из двух ветвей. Ветви начинаются в точках $(-3, 0)$ и $(1/2, 0)$ и приближаются к наклонным асимптотам $y = \sqrt{2}x + \frac{5\sqrt{2}}{4}$ и $y = -\sqrt{2}x - \frac{5\sqrt{2}}{4}$.

5) $y = \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

Это рациональная функция.

• Область определения. Знаменатель не равен нулю, поэтому $x \neq -1$ и $x \neq -2$.
• Асимптоты.
  • Вертикальные: $x = -1$ и $x = -2$.
  • Горизонтальная: $y = 0$ (т.к. степень числителя (0) меньше степени знаменателя (2)).
• Точки пересечения с осями.
  • С осью Ox: нет.
  • С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{1}{(1)(2)} = 1/2$. Точка $(0, 1/2)$.
• Экстремумы. Производная $y' = -\frac{2x+3}{((x+1)(x+2))^2}$ равна нулю при $x = -1.5$. Это точка локального максимума. Значение функции в этой точке $y(-1.5) = -4$. Точка $(-1.5, -4)$.
• Построение.
  1. Рисуем асимптоты $x=-2, x=-1, y=0$.
  2. На интервале $(-\infty, -2)$ график находится над осью Ox, приближаясь к $y=0$ слева и уходя на $+\infty$ при приближении к $x=-2$.
  3. На интервале $(-2, -1)$ график образует "колокол" с вершиной в точке $(-1.5, -4)$, ветви которого уходят на $-\infty$ у асимптот.
  4. На интервале $(-1, +\infty)$ график приходит от $+\infty$ у асимптоты $x=-1$, проходит через точку $(0, 1/2)$ и приближается к $y=0$ справа.

Ответ: График функции имеет три ветви, разделенные вертикальными асимптотами $x=-2$ и $x=-1$. Горизонтальная асимптота - $y=0$. На среднем интервале $(-2, -1)$ есть локальный максимум в точке $(-1.5, -4)$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 1/2)$.

6) $y = \frac{1}{x^2-7x-8}$

Функция аналогична предыдущей.

• Преобразование. Разложим знаменатель на множители: $x^2-7x-8 = (x-8)(x+1)$.
  $y = \frac{1}{(x-8)(x+1)}$.
• Область определения. $x \neq 8$ и $x \neq -1$.
• Асимптоты.
  • Вертикальные: $x = -1$ и $x = 8$.
  • Горизонтальная: $y = 0$.
• Точки пересечения с осями.
  • С осью Ox: нет.
  • С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{1}{-8} = -1/8$. Точка $(0, -1/8)$.
• Экстремумы. Производная равна нулю при $x=3.5$. Это точка локального максимума $y(3.5) = \frac{1}{-20.25} = -\frac{4}{81}$. Точка $(3.5, -4/81)$.
• Построение. Аналогично предыдущему пункту, строим асимптоты $x=-1, x=8, y=0$. Левая ветвь ($x<-1$) и правая ветвь ($x>8$) находятся над осью Ox. Центральная ветвь ($-1<x<8$) находится под осью Ox, проходит через точку $(0, -1/8)$ и имеет максимум в $(3.5, -4/81)$.

Ответ: График имеет три ветви, разделенные асимптотами $x=-1$ и $x=8$. Горизонтальная асимптота $y=0$. На интервале $(-1, 8)$ имеется локальный максимум в точке $(3.5, -4/81)$, и график пересекает ось Oy в точке $(0, -1/8)$.